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CHAPITRE XXI.

ou encore, en appelant $\rho$ et $\omega$ le module de l’argument de $\theta (q),$

(12)

$\mathrm {S} _{1}=\mu \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\rho \sin(qu+x+\omega )\,dq}{1+q{\sqrt {8\mu }}}},$

où $\rho$ et $\omega$ sont des fonctions de $q.$

Mais, pour que la formule (11) ait un sens, il faut que l’intégrale soit finie et pour cela que la fonction sous le signe $\textstyle \int$ ne devienne pas infinie pour $q=-{\frac {1}{\sqrt {8\mu }}},$ c’est-à-dire que

$\theta \left(-{\frac {1}{\sqrt {8\mu }}}\right)=0.$

Comme cela n’aura pas lieu en général, on pourrait remplacer la formule (11) par la suivante [ce qui est une autre manière de disposer de la fonction arbitraire $\eta (q)$]

(11 bis)

$\psi ={\frac {\mu }{i}}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {e^{iqu}-e^{iqu_{0}+\alpha (u_{0}-u)}}{1+q{\sqrt {8\mu }}}}\,\theta (q)\,dq,$

$u_{0}$ étant une constante arbitraire, d’où

(12 bis)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {S} _{1}=\mu \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\rho \,dq}{1+q{\sqrt {8\mu }}}}{\Bigg [}\sin(qu+x+\omega )&\\-\sin \left(qu_{0}+x+\ \omega +{\frac {u_{0}-u}{\sqrt {8\mu }}}\right)&{\Bigg ]}\cdot \end{aligned}}\right.$

Mais on peut encore s’en tirer d’une autre manière. En général, $\theta (q)$ sera une fonction de $q$ qui restera holomorphe si $q$ est réel ou si la partie imaginaire de $q$ n’est pas trop grande. Soit, par exemple,

$\varphi =\sin y={\frac {4\,t(1-t^{2})}{(1+t^{2})^{2}}}\cdot$

Comme on a, d’après la formule de Fourier,

$\theta (q)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\varphi }{2\pi }}e^{-iuq}du,$