466
CHAPITRE XXI.
il viendra
![{\displaystyle \psi =t^{-2\alpha }{\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\int \varphi \,t^{2\alpha -1}\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06b09f61e785e9026a433e2fbfc5e16061472d19)
s’annule pour
c’est-à-dire pour
et pour
c’est-à-dire pour
Soit donc d’abord
petit et développons
suivant les puissances de
soit
![{\displaystyle \varphi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}t^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/353d772a793e52cab2e2acd3bfcb0385a12aa403)
d’où
![{\displaystyle \psi ={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,t^{-2\alpha }\int _{0}^{t}\varphi \,t^{2\alpha -1}\,dt+\mathrm {C} t^{-2\alpha }={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}{\frac {t^{n}}{2\alpha +n}}+\mathrm {C} t^{-2\alpha },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14a726a62b87e81a18797abeee9220877076345b)
étant une constante d’intégration. Pour que cette expression
s’annule pour
il faut et il suffit que
soit nul. La fonction
du no 226 est donc égale à
(14)
|
|
|
Soit maintenant
très grand ; développons
suivant les puissances
décroissantes de
et soit
![{\displaystyle \varphi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{n}t^{-n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c5c31a69f673fa2022c4fff092d58a1eb7b23a7)
il viendra
![{\displaystyle \psi =-{\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,t^{-2\alpha }\int _{t}^{\infty }\varphi \,t^{2\alpha -1}\,dt+\mathrm {C} 't^{-2\alpha }={\sqrt {\frac {\mu }{8}}}\,\sum {\frac {\mathrm {B} _{n}t^{-n}}{2\alpha -n}}+\mathrm {C} 't^{-2\alpha }\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c60285a42983d3bef763a4c16a563e0537ce6535)
étant une constante d’intégration. Pour que cette expression
s’annule pour
il faut et il suffit que
soit nul. La fonction
du no 226 est donc égale à
(15)
|
|
|
Pour que
fût égale à
il faudrait que
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\varphi \,t^{2\alpha -1}\,dt={\tfrac {1}{2}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi \,e^{\alpha u}\,du=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/153532dfa33b6dee20a4759cae7c82135df85210)
c’est-à-dire que
![{\displaystyle \theta (i\alpha )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dbb3231bf5c151cc5a1d5034a2406f2058809dd)
ce qui n’a pas lieu en général.