467
EXTENSION DE LA MÉTHODE DE
M. BOHLIN.
Développons maintenant les expressions (14) et (15) suivant les
puissances de
On trouve
![{\displaystyle \psi '={\frac {\mu }{2i}}\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{n}{\frac {t^{n}}{1-in{\sqrt {2\mu }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc932303e9fae8beae1faf56d81dae074ada471c)
ce qui nous donne pour le développement formel de ![{\displaystyle \psi '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e4792d3361b67c2f3eb7a3394932d28a6ef2e7b)
(16)
|
|
|
La formule (15) nous donne de même
![{\displaystyle \psi ={\frac {\mu }{2i}}\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{n}{\frac {t^{-n}}{1+in{\sqrt {2\mu }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3307bf2e0e38c3664d3887b2c58c4958abb1b3c)
d’ou
(16 bis)
|
|
|
Sous cette forme l’identité des deux développements n’est pas
aussi immédiatement manifeste que sous la forme que nous lui
avions donnée d’abord.
229.Mais il est aisé de passer de l’une à l’autre.
Nous avons, en effet,
![{\displaystyle \theta (q)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\varphi }{2\pi }}\,e^{-iqu}\,du.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97981db75a8a7d6a7121003f3065c05325f19bea)
Je dis que
est une fonction méromorphe de
qui n’a
d’autre singularité que des pôles et dont les pôles sont égaux à
multiplié par un entier positif ou négatif. Écrivons, en effet,
![{\displaystyle 2\pi \theta (q)=\int _{0}^{+\infty }\varphi \,e^{-iqu}\,du+\int _{-\infty }^{0}\varphi \,e^{-iqu}\,du.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcd9fd886a4f18e3a8c1b045a88ce5edaf19c8fe)
Si la partie imaginaire de
est positive, la seconde intégrale est
une fonction holomorphe de
ne présentant aucune singularité ;
car, pour
et
s’annulent. Il peut ne pas en être
de même de la première.
Si, au contraire, la partie imaginaire de
est négative, la pre-