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APPLICATION À L'ÉTUDE DES VARIATIONS SÉCULAIRES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

d’où

${\begin{alignedat}{5}\xi &=\tau _{1}\cos \varphi &{}+{}&\tau _{2}\sin \varphi ,&\qquad \xi '&=-\tau _{1}\sin \varphi &{}+{}&\tau _{2}\cos \varphi ,\\\xi &=\tau _{3}\cos \varphi '&{}+{}&\tau _{4}\sin \varphi ',&\qquad \xi '&=-\tau _{3}\sin \varphi '&{}+{}&\tau _{4}\cos \varphi '.\end{alignedat}}$

D’après le théorème du n^o 4, la forme canonique des équations ne sera pas altérée si l’on remplace les variables anciennes

${\begin{array}{rrrl}\xi ,&\xi ',&p,&p',\\\eta ,&\eta ',&q,&q'\end{array}}$

par les variables nouvelles

${\begin{array}{rrrl}\tau _{1},&\tau _{2},&\tau _{3},&\tau _{4},\\\sigma _{1},&\sigma _{2},&\sigma _{3},&\sigma _{4}.\end{array}}$

Il reste à montrer comment on choisira les angles $\varphi$ et $\varphi '$ en fonctions de $\Lambda$ et de $\Lambda '.$

On choisira l’angle $\varphi$ de telle façon que la forme quadratique

$\mathrm {R} '_{2}(\xi ,\xi ')=\mathrm {R} '_{2}(\tau _{1}\cos \varphi +\tau _{2}\sin \varphi ,\,-\tau _{1}\sin \varphi +\tau _{2}\cos \varphi )$

se réduise à une somme de deux carrés

$\mathrm {A} _{1}\tau _{1}^{2}+\mathrm {A} _{2}\tau _{2}^{2}.$

On aura de même

$\mathrm {R} '_{2}(\eta ,\eta ')=\mathrm {R} '_{2}(\sigma _{1}\cos \varphi +\sigma _{2}\sin \varphi ,\,-\sigma _{1}\sin \varphi +\sigma _{2}\cos \varphi )=\mathrm {A} _{1}\sigma _{1}^{2}+\mathrm {A} _{2}\sigma _{2}^{2}.$

On choisira de même l’angle $\varphi '$ de telle façon que

${\begin{aligned}\mathrm {R} ''_{2}(p,p')&=\mathrm {A} _{3}\tau _{3}^{2}+\mathrm {A} _{4}\tau _{4}^{2},\\\mathrm {R} ''_{2}(q,q')&=\mathrm {A} _{3}\sigma _{3}^{2}+\mathrm {A} _{4}\sigma _{4}^{2}\,;\end{aligned}}$

on aura alors

$\mathrm {R} _{2}=\mathrm {A} _{1}(\sigma _{1}^{2}+\tau _{1}^{2})+\mathrm {A} _{2}(\sigma _{2}^{2}+\tau _{2}^{2})+\mathrm {A} _{3}(\sigma _{3}^{2}+\tau _{3}^{2})+\mathrm {A} _{4}(\sigma _{4}^{2}+\tau _{4}^{2}).$

Remarquons que $\mathrm {A} _{1},$ $\mathrm {A} _{2},$ $\mathrm {A} _{3},$ $\mathrm {A} _{4}$ dépendent de $\Lambda$ et de $\Lambda '.$

La relation entre les variables $\xi ,$ $\eta ,$ $\sigma$ et $\tau ,$ qui s’écrit

(5)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}\xi \,&=&&\tau _{1}\cos \varphi &&+\tau _{2}\sin \varphi ,&\qquad \eta \,&=&&\sigma _{1}\cos \varphi &&+\sigma _{2}\sin \varphi ,\\\xi '&=-&&\tau _{1}\sin \varphi &&+\tau _{2}\cos \varphi ,&\qquad \eta '&=-&&\sigma _{1}\sin \varphi &&+\sigma _{2}\cos \varphi ,\end{alignedat}}\right.$

est une substitution linéaire orthogonale ; c’est grâce à cette circonstance, comme nous l’avons expliqué au n^o 5, que la forme