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GÉNÉRALITÉS ET METHODE DE JACOBI.

de la première et de la seconde équation des aires, $[\mathrm {F} _{1},\mathrm {F} _{2}]$ sera le premier membre de la troisième équation des aires.

Deuxième théorème de Jacobi ; changements de variables.

4.Nous ne conserverons pas d’ordinaire comme variables indépendantes les coordonnées rectangulaires, et les composantes des quantités de mouvement. Nous en choisirons de mieux appropriées à notre objet, en nous efforçant toutefois de conserver aux équations la forme canonique.

Voyons donc comment on peut changer de variables sans altérer la forme canonique des équations (1).

Soit

$\mathrm {S} (y_{1},y_{2},\dots ,y_{p}\,;\;h_{1},h_{2},\dots ,h_{p})$

une fonction quelconque des $p$ variables $y$ et des $p$ variables nouvelles $h$.

Posons maintenant

(4)

$x_{i}={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}},\quad h'_{i}={\frac {d\mathrm {S} }{dh_{i}}}.$

Les équations (4) seront regardées comme définissant les relations qui lient les variables anciennes

${\begin{array}{llll}x_{1},&x_{2},&\dots ,&x_{q}\\y_{1},&y_{2},&\dots ,&y_{q}\\\end{array}}$

aux variables nouvelles

${\begin{array}{llll}h_{1},&h_{2},&\dots ,&h_{q}\\h'_{1},&h'_{2},&\dots ,&h'_{q}\\\end{array}}$

Jacobi a démontré que, si l’on fait ce changement de variables, les équations resteront canoniques, et cela quelle que soit la fonction $\mathrm {S}$.

Changements de variables remarquables.

5.Sauf un cas exceptionnel, tous les changements de variables qui n’altèrent pas la forme canonique peuvent être déduits du pro-