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APPLICATION AU PROBLÈME DES TROIS CORPS.

Or ces équations (4) sont précisément celles que nous avons appris dans le Chapitre précédent à intégrer formellement. On conçoit donc comment la méthode de M. Lindstedt peut être applicable au cas général du Problème des trois Corps.

L’application de cette méthode que je viens d’exposer succinctement sera l’objet des pages qui vont suivre.

Changement de variables.

137.Nous allons donc faire un changement de variables analogues à celui du n^o 131.

Nous poserons pour cela

${\begin{aligned}(\Lambda &=\beta \,\mathrm {L} ,&\Lambda '&=\beta '\,\mathrm {L} ')\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {V} =\Lambda \lambda _{1}+\Lambda '&\lambda _{1}'+\xi (\sigma _{1}\cos \varphi +\sigma _{2}\sin \varphi )+\xi '(-\sigma _{1}\sin \varphi +\sigma _{2}\cos \varphi )\\&+p(\sigma _{3}\cos \varphi '+\sigma _{4}\sin \varphi ')+p'(-\sigma _{3}\sin \varphi '+\sigma _{4}\cos \varphi ')\,;\end{aligned}}$

$\varphi$ et $\varphi '$ étant les angles définis au n^o 131.

Nous ferons ensuite, comme dans le même numéro,

${\begin{aligned}\lambda &={\frac {d\mathrm {V} }{d\Lambda }},&\eta &={\frac {d\mathrm {V} }{d\xi }},&\eta '&={\frac {\mathrm {V} }{\xi '}},&q&={\frac {d\mathrm {V} }{dp}},&q'&={\frac {\mathrm {V} }{p'}},&\tau _{i}&={\frac {d\mathrm {V} }{d\sigma _{i}}}\end{aligned}}$

et nous reconnaîtrons que la forme canonique des équations n’est pas altérée si l’on remplace les variables anciennes

${\begin{array}{rrrrrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\xi ,&\xi ',&p,&p',\\\lambda ,&\lambda ',&\eta ,&\eta ',&q,&q',\end{array}}$

par les variables nouvelles

${\begin{array}{rrrrrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\tau _{1},&\tau _{2},&\tau _{3},&\tau _{4},\\\lambda _{1},&\lambda '_{1},&\sigma _{1},&\sigma _{2},&\sigma _{3},&\sigma _{4}.\end{array}}$

Les variables $\tau _{i}$ et $\sigma _{i}$ ont déjà été déterminées en fonctions des $\xi ,$ des $\eta ,$ des $p,$ des $q$ et des $\Lambda ,$ dans le Chapitre précédent.

Il me reste à voir quelle est la forme de la relation qui lie les nouvelles variables $\lambda _{1}$ et $\lambda '_{1}$ à $\lambda$ et $\lambda '.$

Il vient

${\begin{aligned}\lambda &=\lambda _{1}+\psi ,&\lambda '&=\lambda _{1}'+\psi ',\end{aligned}}$