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CHAPITRE X.

tions en réduisant $\mathrm {R}$ à ses premiers termes, c’est-à-dire à ceux qui sont du second ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons. Les équations sont alors linéaires et à coefficients constants. Depuis, Le Verrier et Cellérier ont envisagé les termes du quatrième ordre et ont reconnu qu’ils n’altèrent pas la stabilité.

Mais les principes du Chapitre précédent permettent, comme nous allons le voir, de généraliser ce résultat et de montrer qu’il est encore vrai (au point de vue du calcul formel bien entendu) quelque loin que l’on pousse l’approximation.

Nouveau changement de variables.

131.Si l’on adopte les variables (4) du n^o 12, $\mathrm {R}$ est développable suivant les puissances de $\xi ,\,\xi ',$ $\eta ,\,\eta ',$ $p,\,p',$ $q$ et $q';$ il n’y a pas, comme nous l’avons vu, de termes de degré impair, par rapport à ces quantités

(2)

$\xi ,\quad \xi '\quad \eta ,\quad \eta ',\quad p,\quad p',\quad q,\quad q'.$

Nous pourrons donc écrire

$\mathrm {R} (\xi ,\xi ',\eta ,\eta ',p,p',q,q')=\mathrm {R} _{0}+\mathrm {R} _{2}+\mathrm {R} _{4}+\mathrm {R} _{6}+\ldots ,$

$\mathrm {R} _{k}$ comprenant l’ensemble des termes du $k$^ième degré par rapport aux quantités (2). Il s’agit d’intégrer les équations canoniques

${\begin{aligned}{\frac {d\xi }{dt}}&={\frac {d\mathrm {R} }{d\eta }},&{\frac {d\eta }{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {R} }{d\xi }},&\cdots \end{aligned}}$

Mais nous avons encore un changement de variables à faire pour amener nos équations à la forme la plus commode.

Supposons d’abord que l’on néglige les termes d’ordre supérieur au deuxième par rapport aux quantités (2) et que l’on écrive

$\mathrm {R} =\mathrm {R} _{0}+\mathrm {R} _{2}.$

$\mathrm {R} _{0}$ est une constante, $\mathrm {R} _{2}$ est un polynôme homogène et du second degré par rapport aux variables (2). Si donc on forme les équa-