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APPLICATION AUX ORBITES.
s
étant une fonction périodique de valeur moyenne nulle et
étant indépendant de
et ![{\displaystyle \lambda '_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bed6767f5574d69a41c9d0b99a02e13bc2fae3fd)
Nous pourrons écrire alors
(5)
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|
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doit dépendre de
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrrr}s_{0},&s'_{1},&s'_{2},&\ldots ,&s'_{p-2},\\&s''_{1},&s''_{2},&\ldots ,&s''_{p-2},\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a863c4f4cde220618c60e5f05974525225d18d80)
et
de
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrrr}s_{0},&s'_{1},&s'_{2},&\ldots ,&s'_{p-1},\\&s''_{1},&s''_{2},&\ldots ,&s''_{p-2}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c1b33ae7114c44784fb131ea8e317c396fb350b)
La lettre
représente une sommation portant, soit sur les diverses
paires de variables conjuguées
et
, soit sur les deux paires
de variables conjuguées
et
,
et ![{\displaystyle \lambda '_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bed6767f5574d69a41c9d0b99a02e13bc2fae3fd)
Les deux membres des relations (5) sont développables suivant
les puissances croissantes de
mais les premiers membres ne
contiennent que des puissances positives, tandis que les seconds
membres contiennent dès puissances négatives. Avant qu’on ait
remplacé, dans
et
les dérivées de
et de
calculées
antérieurement par récurrence, les développements de ces
deux fonctions contenaient déjà des termes en
parce que le
développement de
en contient, comme nous l’avons vu plus
haut. Il en résulte que le développement de
suivant les puissances
croissantes de
doit commencer par une puissance négative
de
Si donc, dans
et
on remplace les dérivées des
et
par leurs développements, suivant les puissances de
antérieurement
calculés, alors
et
seront encore développés suivant les
puissances croissantes de
mais le développement, au lieu de
commencer par un terme en
commencera par un terme en
étant un entier positif.
L’exposant de
dans le premier terme du développement de
ira donc en croissant avec