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INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

les coefficients $\beta$ étant entiers, positifs ou nuls, le coefficient $\gamma$ entier positif ou négatif. (Cf. t. 1, p. 338, ligne 5 ; en écrivant cette relation, j’ai supposé que l’unité de temps était choisie de telle sorte que la période de la solution (2) soit égale à $2\pi .$)

S’il y a une relation de la forme (4), les $\xi$ ne seront plus développables suivant les puissances des quantités (3), mais suivant les puissances de ces quantités (3) et de $t.$

C’est précisément ce qui arrive si les équations (1) ont la forme canonique des équations de la Dynamique. Dans ce cas, en effet, deux des exposants sont nuls et les autres sont deux à deux égaux et de signe contraire.

Dans le cas des équations de la Dynamique [ou plus généralement quand il y a une relation de la forme (4)], nous avons pu encore obtenir un résultat ; il suffit de donner aux constantes d’intégration $\mathrm {A}$ des valeurs particulières de façon à annuler celles de ces constantes qui correspondent à un exposant nul, et l’une des deux qui correspondent à chaque couple d’exposants égaux et de signe contraire. [Plus généralement on annulerait la constante A correspondant à l’un des exposants qui figurent dans la relation de la forme (4) ; de telle façon qu’entre les exposants correspondant aux constantes A qui ne sont pas nulles, il n’y ait plus de relation de cette forme.]

Par exemple si

${\begin{aligned}\alpha _{1}=\alpha _{2}&=0,&\alpha _{3}&=-\alpha _{4},&\alpha _{5}&=-\alpha _{6},&&\ldots ,\\\alpha _{n-1}&=-\alpha _{n}&(n\;&\mathrm {pair} ),\end{aligned}}$

on fera

${\begin{aligned}\mathrm {A} _{1}=\mathrm {A} _{2}&=0,&\mathrm {A} _{3}&=0,&\mathrm {A} _{5}&=0,&&\ldots ,&\mathrm {A} _{n-1}=0.\end{aligned}}$

Les $\xi$ seront alors encore développables suivant les puissances de celles des quantités (3) qui ne sont pas nulles ; seulement on n’aura plus ainsi la solution générale des équations (1), mais une solution particulière dépendant d’un nombre de constantes arbitraires inférieur à $n$ (à savoir ${\frac {n-\scriptstyle 1}{\scriptstyle 2}}$ dans le cas général des équations de la Dynamique).

C’est ainsi que nous sommes arrivés aux solutions asymptotiques : nous y sommes parvenu en annulant un certain nombre de constantes $\mathrm {A} ,$ non seulement celles que nous avons égalées à zéro pour la raison que je viens de dire, mais celles que nous avons dû