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INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

le voisinage immédiat de l’origine, la figure formée par une série d’hyperboles ayant mêmes asymptotes et par leurs asymptotes.

274.Pour mieux étudier ces courbes et les fonctions $\mathrm {S}$ correspondantes restreignons-nous d’abord au cas où il n’y a que deux degrés de liberté.

Supposons qu’on ait fait le changement de variables du n^o 208 de telle façon que

$x_{1}=x_{2}=y_{1}=0$

soit une solution périodique, cela revient à dire que pour

$x_{1}=x_{2}=y_{1}=0$

on a

${\frac {d\mathrm {F} }{dy_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{2}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}=0.$

Développons $\mathrm {F}$ suivant les puissances croissantes de $x_{1},$ $x_{2}$ et $y_{1}.$ Le terme de degré 0 ne dépendrait que de $y_{2}$ et comme on devrait avoir

${\frac {d\mathrm {F} }{dy_{2}}}=0$

il se réduirait à une constante. Comme $\mathrm {F}$ n’est définie qu’à une constante près, nous pouvons supposer que ce terme de degré zéro est nul.

Cherchons les termes du premier degré ; comme

${\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{1}}}=0$

il n’y aura d’autres termes du premier degré qu’un terme en $x_{2}.$

Posons maintenant

${\begin{aligned}x_{1}&=\varepsilon x_{1}',&y_{1}&=\varepsilon y_{1}',&x_{2}&=\varepsilon ^{2}x_{2}',&y_{2}&=y_{2}'.\end{aligned}}$

On voit que $\mathrm {F}$ est divisible par $\varepsilon ^{2}$ et que, si l’on pose

$\mathrm {F} =\varepsilon ^{2}\mathrm {F} ',$

les équations conservent la forme canonique et deviennent

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}'}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} '}{dy_{i}'}},&{\frac {dy_{i}'}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} '}{dx_{i}'}}\cdot \end{aligned}}$