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INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

et définissons une fonction $\mathrm {S}$ par l’équation de Jacobi

$\mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {S} }{dy_{2}}},{\frac {d\mathrm {S} }{dv}};y_{2},v\right)=\mathrm {C} ,$

$\mathrm {C}$ étant une constante. Développons $\mathrm {S}$ et $\mathrm {C}$ suivant les puissances de $\varepsilon$

${\begin{alignedat}{5}\mathrm {S} &=\mathrm {S} _{0}&{}+&{}\varepsilon \,\mathrm {S} _{1}&{}+&{}\varepsilon ^{2}\mathrm {S} _{2}&{}+&{}\ldots ,\\\mathrm {C} &=\mathrm {C} _{0}&{}+&{}\varepsilon \,\mathrm {C} _{1}&{}+&{}\varepsilon ^{2}\mathrm {C} _{2}&{}+&{}\ldots .\end{alignedat}}$

Nous aurons pour déterminer $\mathrm {S} _{0},$ $\mathrm {S} _{1},$ $\mathrm {S} _{2},\,\ldots ,$ par récurrence, les équations suivantes

(2)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{2}}}+2\mathrm {B} \,{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dv}}&=\mathrm {C} _{0},\\{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{2}}}+2\mathrm {B} \,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dv}}&=\Phi +\mathrm {C} _{1},\\{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{2}}}+2\mathrm {B} \,{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dv}}&=\Phi +\mathrm {C} _{2},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots ..\end{aligned}}\right.$

Je désigne, comme je l’ai déjà fait bien des fois, toute fonction connue par $\Phi \,;$ dans la seconde équation (2) je regarde $\mathrm {S} _{0}$ comme connue ; dans la troisième je regarde $\mathrm {S} _{0}$ et $\mathrm {S} _{1}$ comme connues et ainsi de suite.

Nous prendrons

$\mathrm {S} _{0}=\alpha _{0}y_{2}+\beta _{0}v$

avec la condition

$\alpha _{0}+2\,\mathrm {B} \,\beta _{0}=\mathrm {C} _{0}.$

Comme $\mathrm {C} _{0}$ est arbitraire, les deux constantes $\alpha _{0}$ et $\beta _{0}$ peuvent être choisies arbitrairement. Il importe toutefois de ne pas prendre $\beta _{0}=0.$ Voici pourquoi.

Supposons qu’on ait démontré que

${\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dv}}+\varepsilon \,{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dv}}+\ldots +\varepsilon ^{p}\,{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dv}}$

est développable suivant les puissances de

$\varepsilon ,\quad e^{\pm v},\quad e^{\pm iy_{2}}$

nous pourrons (si $\beta _{0}$ n’est pas nul) en conclure qu’il en est de même de

${\sqrt {{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dv}}+\varepsilon \,{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dv}}+\ldots +\varepsilon ^{p}\,{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dv}}}}$