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CHAPITRE XXV.

puisque la quantité sous le radical se réduit à $\beta _{0}$ pour $\varepsilon =0.$ Nous ne pourrions plus tirer cette conclusion si $\beta _{0}$ était nul : or il importe de pouvoir la tirer, à cause de la présence du radical ${\sqrt {\overset {}{u}}}$ dans $\mathrm {F} .$

Considérons maintenant la seconde équation (2). La fonction $\Phi$ qui y entre dépend de $v$ et de $y_{2}$ et est de la forme suivante

$\Phi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{m,n}e^{mv+iny_{2}}+\mathrm {A} _{00}.$

Les coefficients $\mathrm {A}$ sont des constantes pouvant dépendre de $\alpha _{0}$ et $\beta _{0}.$ Les indices $m$ et $n$ peuvent prendre toutes les valeurs entières, positives, négatives ou nulles. J’ai mis en évidence, en le faisant sortir du signe ${\textstyle \sum },$ le terme où ces deux indices sont nuls.

La seconde équation (2) nous donne alors

$\mathrm {S} _{1}=\alpha _{1}y_{2}+\beta _{1}v+\sum {\frac {\mathrm {A} _{m,n}e^{mv+iny_{2}}}{in+2\mathrm {B} m}}$

avec la condition

$\alpha _{1}+2\mathrm {B} \beta _{1}=\mathrm {A} _{00}+\mathrm {C} _{1}.$

Sauf cette condition, les constantes $\alpha _{1},$ $\beta _{1}$ et $\mathrm {C} _{1}$ sont arbitraires ; je supposerai donc

$\alpha _{1}=\beta _{1}=0.$

Je déterminerai $\mathrm {S} _{2}$ par la troisième équation (2) ; cette équation étant tout à fait de même forme que la seconde, se traitera de la même manière, et ainsi de suite.

En résumé, les dérivées ${\frac {d\mathrm {S} }{dy_{2}}}$ et ${\frac {d\mathrm {S} }{dv}}$ sont développables suivant les puissances de

$\varepsilon ,\quad e^{\pm v},\quad e^{\pm iy_{2}}.$

Si l’on compare cette analyse avec celle du n^o 125, on voit qu’il y a entre elles une analogie parfaite. Seulement, au lieu de n’avoir que des exponentielles imaginaires

$e^{\pm iy_{1}},\quad e^{\pm iy_{2}},\quad \ldots ,\quad e^{\pm iy_{n}},$

nous avons ici des exponentielles réelles

$e^{\pm v}.$

275.Une fois la fonction $\mathrm {S}$ déterminée, nous pouvons, par l’application de la méthode de Jacobi, arriver à des séries analogues à celles du n^o 127.