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CHAPITRE XXV.
Considérons les solutions voisines de cette solution périodique ;
elles pourront, d’après ce qui précède, être mises sous la forme
suivante :
et
seront développés suivant les puissances
de
quantités conjuguées deux à deux et que j’appelle
![{\displaystyle {\begin{array}{rl}\mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t},&\quad \mathrm {A} _{1}'e^{-\alpha _{1}t}\\\mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t},&\quad \mathrm {A} _{2}'e^{-\alpha _{2}t}\\\ldots \ldots ,&\quad \ldots \ldots ..\\\mathrm {A} _{n-1}e^{\alpha _{n-1}t},&\quad \mathrm {A} _{n-1}'e^{-\alpha _{n-1}t}.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/609a9e2b21f0dfeaf821f6dff29ff430c0d81132)
Les
et les
sont des constantes arbitraires d’intégration ; les
exposants
peuvent se développer eux-mêmes suivant les puissances
de
De plus les coefficients du développement de
et de
sont
des fonctions périodiques de
de période
Ces coefficients
(de même que les exposants
) dépendent en outre de la constante
des forces vives
Nous savons qu’il existe un invariant intégral
(2)
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d’où il résulte que, si
et
sont deux constantes d’intégration, on
devra avoir
![{\displaystyle \sum \left({\frac {dx_{i}}{d\beta }}\,{\frac {dy_{i}}{d\gamma }}-{\frac {dx_{i}}{d\gamma }}\,{\frac {dy_{i}}{d\beta }}\right)=\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f9aa98c6d500bde1d76dd910cc3612e53bb3967)
On pourra écrire cette équation sous une autre forme ; supposons
qu’on donne à
un accroissement
et qu’il en résulte
pour
des accroissements
![{\displaystyle \delta x_{i},\quad \delta y_{i},\quad \delta \mathrm {A} _{i}e^{\alpha _{i}t},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3e2cf5e1fc767012dbf13ac76944a90ccb9139d)
Supposons d’autre part que l’on donne à
un accroissement
et qu’il en résulte pour
des accroissements
![{\displaystyle \delta '\!x_{i},\quad \delta '\!y_{i},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa82868c0705f1e1e2d83bdd1087123bf2f41ef5)
Notre équation s’écrira
(3)
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Le second nombre est une constante ; je veux dire que c’est une
fonction des constantes d’intégration multipliée par