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INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
Nous aurons donc
égalités qui exprimeront les
et les
en fonctions de
et de ces constantes
et
Si entre ces
égalités nous éliminons
et les
nous aurons entre les
et
les
un certain nombre de relations invariantes.
Si un ensemble de valeurs des
et des
est regardé comme
représentant un point dans l’espace à
dimensions, ces relations
invariantes représentent une certaine variété
de cet espace ;
c’est ce que j’appellerai la variété asymptotique.
Reprenons l’invariant intégral
![{\displaystyle \int {\textstyle \sum }\,dx_{i}\,dy_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5143abf79251c65c4d407e1956e36f3e294d2a28)
et étendons l’intégration à une portion de cette variété asymptotique
En d’autres termes, supposons que tous les systèmes de
valeurs des
et des
qui font partie du domaine d’intégration,
satisfassent à nos relations invariantes.
Je dis que l’invariant intégral sera nul.
Il me suffit de démontrer que
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\,\left(\delta x_{i}\,\delta '\!y_{i}-\delta y_{i}\,\delta '\!x_{i}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad822ac7aba122a774a085ff7a98c6e8e34cea0b)
et cela est évident, car on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} _{k}&=0,&\mathrm {C} &=\mathrm {C} _{0},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bb05ffab51a0b0059ead9ff643ba141bfc07d9f)
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta \mathrm {A} _{k}&=0,&\delta \mathrm {C} &=0,\\\delta '\!\mathrm {A} _{k}&=0,&\delta '\!\mathrm {C} &=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b59558faa5fa0308599b9581cb170a3935cce88)
ce qui montre que toutes les expressions (4) s’annulent. Nous
aurions pu également faire
![{\displaystyle \mathrm {C} ={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458e3d92278c367f7244e6e0d4f89c5887a4f814) |
|
![{\displaystyle \mathrm {A} _{k}\gtrless 0,\qquad \mathrm {A} _{k}'={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc407b7e2d084763e88d8d07e0ec5d875d758c69) |
0 (pour réel),
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![{\displaystyle \mathrm {A} _{k}=\mathrm {A} _{k}'={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f3bd83c318832eed0aada347573e8e02dad1109) |
0 (pour imaginaire).
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Nous aurions obtenu une nouvelle série de solutions asymptotiques
et, par conséquent, une nouvelle variété asymptotique à
laquelle les mêmes conclusions s’appliqueraient.
Ce que nous avons fait pour l’invariant (2), on pourrait le faire
pour un invariant bilinéaire quelconque (invariant de la troisième