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CHAPITRE XXV.
Ensuite
doit être indépendant de
il sera donc linéaire par
rapport aux déterminants suivants
(4)
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(ou par rapport aux déterminants analogues déduits des premiers
en permutant
avec
ou
avec
).
Les coefficients seront développés suivant les puissances des
et dépendront en outre de
Le temps en effet doit disparaître. Les exponentielles doivent
donc disparaître ; ce qui ne peut arriver que si chaque facteur
est multiplié par un facteur
ou
ou
On peut déduire de là une nouvelle série de relations de vérification.
279.Parmi les exposants
les uns sont imaginaires, les autres
réels ; parmi ces derniers les uns sont positifs, les autres négatifs.
Mais comme entre deux exposants égaux et de signe contraire je
puis arbitrairement choisir celui que j’appelle
je ne restreindrai
pas la généralité en supposant que
est positif s’il est réel.
Annulons maintenant les coefficients
qui correspondent à
un exposant imaginaire, ou à un exposant positif.
Alors on aura, si
est réel,
![{\displaystyle \mathrm {A} _{k}=0,\qquad \mathrm {A} _{k}'\gtrless 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95c51a84efaf4c107e78f622811a066664ff9478)
et si
est imaginaire
![{\displaystyle \mathrm {A} _{k}=\mathrm {A} _{k}'=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99fd7e6a9f2d35011073b7324420f2669edaeafd)
Je ferai en outre
![{\displaystyle \mathrm {C} =\mathrm {C} _{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6917b79049493e3a1bcc7f198c7fc59619691cf9)
étant la valeur de la constante des forces vives qui correspond
à la solution périodique envisagée.
Nos séries deviennent alors convergentes et représentent les
solutions asymptotiques que nous avons étudiées au Chapitre VII.
Elles contiennent comme constantes arbitraires
et les
qui
correspondent aux exposants négatifs.