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CHAPITRE XXV.

venons d’obtenir n’est vrai que si l’on néglige les carrés des $\gamma$ et si l’on arrête les développements des $\alpha$ aux termes du premier degré. De plus, les $\mathrm {B}$ et les $\mathrm {D}$ sont des constantes. L’expression (13) est donc la différentielle exacte d’un polynôme du deuxième degré.

Pour pousser plus loin cette étude, exprimons les $\alpha _{k}$ non plus en fonctions de

$\gamma _{0},\quad \gamma _{1},\quad \ldots ,\quad \gamma _{n-1},$

mais de

$\alpha _{0},\quad \gamma _{1},\quad \ldots ,\quad \gamma _{n-1},$

et, pour éviter toute confusion, représentons par des $\partial {}$ les dérivées prises par rapport aux nouvelles variables et par des $d$ les dérivées prises par rapport aux anciennes.

On voit alors que

${\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{k}\,\alpha _{k}\,d\gamma _{k}+d\alpha _{0}\,{\textstyle \sum }\,\mathrm {D} _{j}\gamma _{j}$

est une différentielle exacte, ce qui entraîne les conditions

(14)

$\mathrm {B} _{k}\,{\frac {\partial \alpha _{k}}{\partial \gamma _{i}}}=\mathrm {B} _{i}\,{\frac {\partial \alpha _{i}}{\partial \gamma _{k}}}\cdot$

Si l’on connaît les relations entre les $\alpha$ et les $\gamma ,$ ces équations nous permettront de déterminer les coefficients $\mathrm {B} _{i}.$

Nous pouvons exprimer $\textstyle \sum \mathrm {D} _{j}\gamma _{j}$ en fonction des variables

$\alpha _{0},\quad \gamma _{1},\quad \gamma _{2},\,\ldots ,\quad \gamma _{n-1}$

en écrivant

${\textstyle \sum }\,\mathrm {D} _{j}\gamma _{j}=\mathrm {E} _{0}\alpha _{0}+{\textstyle \sum }\,\mathrm {E} _{k}\gamma _{k}.$

Les $\mathrm {E} _{k}$ nous seront donnés par les équations

(14 bis)

$\mathrm {E} _{k}=\mathrm {B} _{k}\,{\frac {\partial \alpha _{k}}{\partial \alpha _{0}}},$

et $\mathrm {E} _{0}$ pourra être choisi arbitrairement.

Il faut d’abord que les équations (14) soient compatibles, ce qui pour $n>3$ exige certaines conditions

(15)

${\frac {\partial \alpha _{k}}{\partial \gamma _{i}}}{\frac {\partial \alpha _{i}}{\partial \gamma _{j}}}{\frac {\partial \alpha _{j}}{\partial \gamma _{k}}}={\frac {\partial \alpha _{i}}{\partial \gamma _{k}}}{\frac {\partial \alpha _{j}}{\partial \gamma _{i}}}{\frac {\partial \alpha _{k}}{\partial \gamma _{j}}}\cdot$

Ces conditions (15) seront toujours remplies puisqu’il y a tou-