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INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Or ce n’est pas le cas de l’invariant

$\int {\textstyle \sum }\,dx_{i}\,dy_{i}$

auquel correspond l’expression

${\textstyle \sum }\,\left(\delta x_{i}\,\delta '\!y_{i}-\delta y_{i}\,\delta '\!x_{i}\right)\,:$

Soit, en effet,

${\begin{alignedat}{3}\delta \Theta &={\textstyle \sum }\,a_{i}\,\delta x_{i}&{}+{}&{\textstyle \sum }\,b_{i}\,\delta y_{i},\\\delta '\!\Theta &={\textstyle \sum }\,a_{i}\,\delta '\!x_{i}&{}+{}&{\textstyle \sum }\,b_{i}\,\delta '\!y_{i}.\end{alignedat}}$

On devrait avoir une égalité de la forme

${\begin{aligned}{\textstyle \sum }\,\left(\delta x_{i}\,\delta '\!y_{i}-\delta y_{i}\,\delta '\!x_{i}\right)={}&{\textstyle \sum }\,\left(a_{i}\,\delta x_{i}+b_{i}\,\delta y_{i}\right){\textstyle \sum }\,\left(c_{i}\,\delta '\!x_{i}+e_{i}\,\delta '\!y_{i}\right)\\&-{\textstyle \sum }\,\left(a_{i}\,\delta '\!x_{i}+b_{i}\,\delta '\!y_{i}\right){\textstyle \sum }\,\left(c_{i}\,\delta x_{i}+e_{i}\,\delta y_{i}\right).\end{aligned}}$

Or cela est impossible puisque le premier membre est une forme bilinéaire de déterminant 1 et le second une forme bilinéaire de déterminant 0.

Nous devons donc conclure que les conditions (15) sont toujours remplies.

284.Recherchons maintenant si les équations (14) peuvent admettre plusieurs solutions.

Soient

${\begin{array}{llll}\mathrm {B} _{1},&\mathrm {B} _{2},&\ldots ,&\mathrm {B} _{n},\\\mathrm {B} _{1}',&\mathrm {B} _{2}',&\ldots ,&\mathrm {B} _{n}'\end{array}}$

ces deux solutions, et supposons que l’on n’ait pas

${\frac {\mathrm {B} _{k}}{\mathrm {B} _{k}'}}={\frac {\mathrm {B} _{i}}{\mathrm {B} _{i}'}}\,;$

alors les deux équations

${\begin{aligned}\mathrm {B} _{k}\,{\frac {\partial \alpha _{k}}{\partial \gamma _{i}}}&=\mathrm {B} _{i}\,{\frac {\partial \alpha _{i}}{\partial \gamma _{k}}},\\\mathrm {B} _{k}'\,{\frac {\partial \alpha _{k}}{\partial \gamma _{i}}}&=\mathrm {B} _{i}'\,{\frac {\partial \alpha _{i}}{\partial \gamma _{k}}}\end{aligned}}$

entraîneront

${\frac {\partial \alpha _{k}}{\partial \gamma _{i}}}={\frac {\partial \alpha _{i}}{\partial \gamma _{k}}}=0.$

Alors les indices

$1,\quad 2,\quad \ldots ,\quad n$

se répartiront en un certain nombre de groupes, autant qu’il y a