Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/14

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Si l'on savait intégrer ces équations, on en tirerait x== x0, Yo, zo), y = 2(t, x0,y0, z0), Z = 3(t, Xo, Yo, z0), de sorte que x, y et z seraient exprimés en fonction du temps t et de leurs valeurs initiales x0,y0, z0. connaissant la position initiale d'une molécule, on en déduirait ainsi la position de cette même molécule au temps t. Considérons des molécules fluides dont l'ensemble forme à l'origine des temps une certaine figure F0; quand ces molécules se déplaceront, leur ensemble formera une nouvelle figure qui ira en se déformant d'une manière continue, et à l'instant t l'ensemble des molécules envisagées formera une nouvelle figure F. Nous supposerons que le mouvement du fluide est continu, c'est-à -dire que u, w sont des fonctions continues de x,y, z; il existe alors entre les figures F0 et F certaines relations que la continuité rend évidentes. Si la figure F0 est une courbe ou une surface continue, la figure F sera une courbe ou une surface continue. Si la figure F0 est un volume simplement connexe, la figure F sera un volume simplement connexe. Si la figure F0 est une courbe ou une surface fermée, il en sera de même de la figure F. Examinons en particulier le cas des liquides; c'est celui où le fluide est incompressible, c'est-à -dire où le volume d'une masse fluide est invariable. Supposons alors que la figure Fo soit un volume, au bout du temps t la masse fluide qui remplissait ce volume occupera un volume différent qui ne sera autre chose que la figure F. Le volume de la masse fluide n'a pas dû changer; donc F0 et F ont même volume : c'est ce que l'on peut écrire (2) dxdydz — dx0dy0dz0; la première intégrale est étendue au volume F et l'autre au vo- lume Fo.