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INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

(Les équations trop longues pour tenir sur une ligne ont été mises sur 2 lignes)

divers termes du Tableau (8 bis) correspondent les termes suivants

(10 bis)

$\left\{{\begin{aligned}&\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta \mathrm {A} _{k}'+t\left(\mathrm {A} _{k}\,\delta \mathrm {A} _{k}'\,\delta \alpha _{k}-\mathrm {A} _{k}'\,\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta \alpha _{k}\right)-\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'t^{2}(\delta \alpha _{k})^{2},\\&\mathrm {A} _{k}'\mathrm {A} _{j}'\,\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta \mathrm {A} _{j}+\mathrm {A} _{k}'\mathrm {A} _{j}'t\left(\mathrm {A} _{k}\,\delta \alpha _{k}\,\delta \mathrm {A} _{j}+\mathrm {A} _{j}\,\delta \alpha _{j}\,\delta \mathrm {A} _{k}\right)\\[-0.25ex]&\;\;+\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'\mathrm {A} _{j}\mathrm {A} _{j}'t^{2}\,\delta \alpha _{k}\,\delta \alpha _{j},\\&\mathrm {A} _{k}'\,\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta \mathrm {C} +\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'t\,\delta \alpha _{k}\,\delta \mathrm {C} ,\\&\mathrm {A} _{k}'\,\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta \beta _{0}+\mathrm {A} _{k}'\,t\left(\delta \mathrm {A} _{k}\,\delta \alpha _{0}+\mathrm {A} _{k}\,\delta \alpha _{k}\,\delta \beta _{0}\right)\\[-0.25ex]&\;\;+\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'t^{2}\,\delta \alpha _{k}\,\delta \alpha _{0},\\&\delta \mathrm {C} \,\delta \beta _{0}+t\,\delta \mathrm {C} \,\delta \alpha _{0}\,;\qquad \delta \mathrm {C} ^{2},\qquad \delta \beta _{0}^{2}+2t\,\delta \beta _{0}\,\delta \alpha _{0}+t^{2}\,\delta \alpha _{0}^{2}.\end{aligned}}\right.$

Faisons d’abord disparaître les termes en $t^{2}.$

L’ensemble de ces termes est une forme quadratique par rapport à

$\delta \alpha _{0},\quad \delta \alpha _{1},\quad \ldots ,\quad \delta \alpha _{n-1}.$

Cette forme quadratique doit être identiquement nulle.

Le coefficient de $\delta \alpha _{k}\,\delta \alpha _{j}\,t^{2}$ devra donc être nul. Or, il y a quatre termes qui pourraient introduire le produit $t^{2}\,\delta \alpha _{k}\,\delta \alpha _{j}\,:$ ce sont les termes en

$f_{k}'f_{j}'\,\delta f_{k}\,\delta f_{j},\quad f_{k}'f_{j}\,\delta f_{k}\,\delta f_{j}',\quad f_{k}f_{j}'\,\delta f_{k}'\,\delta f_{j},\quad f_{k}f_{j}\,\delta f_{k}'\,\delta f_{j}'.$

Désignons pour abréger ces quatre expressions par $\omega _{1},$ $\omega _{2},$ $\omega _{3},$ $\omega _{4}\,;$ l’ensemble de nos quatre termes s’écrira alors

$\psi _{1}\omega _{1}+\psi _{2}\omega _{2}+\psi _{3}\omega _{3}+\psi _{4}\omega _{4},$

$\psi _{1},\,\psi _{2},\,\psi _{3}$ et $\psi _{4}$ étant développables suivant les puissances des $f_{k}f_{k}'$ et de $\Phi .$ Pour que le coefficient de $t^{2}\,\delta \alpha _{k}\,\delta \alpha _{j}$ disparaisse on devra avoir identiquement

$\psi _{1}+\psi _{2}+\psi _{3}+\psi _{4}=0.$

De même le coefficient de $t^{2}\,\delta ^{2}\alpha _{k}$ devra s’annuler ; or il provient des termes en

$\delta f_{k}\,\delta f_{k}',\quad f_{k}^{2}\,\delta f_{k}'^{2},\quad f_{k}'^{2}\,\delta f_{k}^{2}.$

Désignons pour abréger ces trois expressions par $\omega _{1}',$ $\omega _{2}',$ $\omega _{3}'$ et l’ensemble des trois termes par

$\psi _{1}'\omega _{1}'+\psi _{2}'\omega _{2}'+\psi _{3}'\omega _{3}',$

$\psi _{1},\,\psi _{2},\,\psi _{3}$ étant développables, suivant les puissances des $f_{k}f_{k}'$ et de $\Phi .$