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CHAPITRE XXV.
Prenons maintenant, par exemple,
![{\displaystyle \mathrm {H} =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd1f597ded80df249319ec136bc00084f26c9f0e)
et écrivons l’équation
(4 bis)
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Observons ensuite que, si l’on suppose
le troisième corps
décrira une ellipse képlérienne ; soient
et
les coordonnées de
ce corps, non par rapport aux axes mobiles, mais par rapport aux
axes de symétrie de cette ellipse.
Les équations de l’ellipse képlérienne s’écriront alors
(6)
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Les coefficients
dépendront de deux constantes qui sont
le grand axe et l’excentricité de l’ellipse, et par conséquent de
et
On aura d’ailleurs
![{\displaystyle \varphi =n_{1}t+\varpi _{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47ab50e030c5d86a7a890061b1e4810359551fc5)
où le moyen mouvement
dépend de
et où
est une nouvelle
constante d’intégration.
L’intersection de l’ellipse (6) avec le cercle
![{\displaystyle \xi ^{2}+\eta ^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b10ca1b6b117a28e77091ee0e8388e472bf9d269)
aura lieu en deux points qui seront donnés par les équations
(7)
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On aura ensuite
(8)
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où
est une nouvelle constante d’intégration.
On obtiendra les solutions de l’équation (4 bis) en combinant
les équations (7) et (8), ce qui donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}^{0}&=\cos \left[\theta +{\frac {\omega }{n_{1}}}(\varphi _{0}+2k\pi -\varpi _{1})+\varpi _{2}\right],\\x_{1}^{0}&=\cos \left[-\theta +{\frac {\omega }{n_{1}}}(-\varphi _{0}+2k\pi -\varpi _{1})+\varpi _{2}\right],\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fac1dcd39291c09c4d20a794a341e75fa73300c2)
(
étant un entier quelconque).