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CHAPITRE XXV.

Prenons maintenant, par exemple,

$\mathrm {H} =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-1$

et écrivons l’équation

(4 bis)

$\left(x_{1}^{0}\right)^{2}+\left(x_{2}^{0}\right)^{2}=1.$

Observons ensuite que, si l’on suppose $\mu =0,$ le troisième corps décrira une ellipse képlérienne ; soient $\xi$ et $\eta$ les coordonnées de ce corps, non par rapport aux axes mobiles, mais par rapport aux axes de symétrie de cette ellipse.

Les équations de l’ellipse képlérienne s’écriront alors

(6)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}\xi &=\xi _{0}&{}+{}&\xi _{1}\cos \varphi &{}+{}&\xi _{2}\cos 2\varphi +\ldots ,\\\eta &=&{}{}&\eta _{1}\sin \varphi &{}+{}&\eta _{2}\sin 2\varphi +\ldots .\end{alignedat}}\right.$

Les coefficients $\xi _{k},\,\eta _{k}$ dépendront de deux constantes qui sont le grand axe et l’excentricité de l’ellipse, et par conséquent de $\beta _{0}$ et $\gamma _{0}.$ On aura d’ailleurs

$\varphi =n_{1}t+\varpi _{1},$

où le moyen mouvement $n_{1}$ dépend de $\beta _{0}$ et où $\varpi _{1}$ est une nouvelle constante d’intégration.

L’intersection de l’ellipse (6) avec le cercle

$\xi ^{2}+\eta ^{2}=1$

aura lieu en deux points qui seront donnés par les équations

(7)

${\begin{aligned}\xi &=\cos \theta ,&\eta &=\pm \sin \theta ,&\varphi &=\pm \varphi _{0}.\end{aligned}}$

On aura ensuite

(8)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}x_{1}^{0}&=\xi \cos(\omega t+\varpi _{2})&{}+{}&\eta \sin(\omega t+\varpi _{2}),\\x_{2}^{0}&=\xi \sin(\omega t+\varpi _{2})&{}-{}&\eta \cos(\omega t+\varpi _{2}),\\\end{alignedat}}\right.$

où $\varpi _{2}$ est une nouvelle constante d’intégration.

On obtiendra les solutions de l’équation (4 bis) en combinant les équations (7) et (8), ce qui donne

${\begin{aligned}x_{1}^{0}&=\cos \left[\theta +{\frac {\omega }{n_{1}}}(\varphi _{0}+2k\pi -\varpi _{1})+\varpi _{2}\right],\\x_{1}^{0}&=\cos \left[-\theta +{\frac {\omega }{n_{1}}}(-\varphi _{0}+2k\pi -\varpi _{1})+\varpi _{2}\right],\\\end{aligned}}$

($k$ étant un entier quelconque).