Nous avons supposé que est une fonction algébrique des et des nous pouvons supposer que cette fonction algébrique entre comme cas particulier dans un type déterminé, ne contenant pas explicitement, mais dépendant algébriquement d’un certain nombre de paramètres arbitraires. Alors ne serait pas un invariant intégral quels que soient ces paramètres, mais seulement quand ces paramètres prendront certaines valeurs particulières, dépendant de
En exprimant que est un invariant intégral, on est conduit à certaines équations algébriques entre et ces paramètres ; ces équations devront être compatibles et il est clair qu’on en tirera les paramètres en fonctions algébriques de
Les coefficients de la forme et seront donc aussi algébriques en
L’équation est donc algébrique en et nous pouvons supposer qu’on lui a fait subir une transformation telle que le premier membre soit un polynôme entier en
Nous écrirons donc
De plus, ne sera pas identiquement nul, à moins que ne le soit. Si, en effet, s’annulait, contiendrait un facteur que l’on pourrait faire disparaître.
La fonction doit s’annuler quand on y remplace et par les développements (5). Elle devient alors développable suivant les puissances de et, le terme indépendant de devant s’annuler, on aura
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Remarquons maintenant que l’on doit avoir
| (3 bis) |
et étant des constantes. Il suffit, pour s’en assurer, de se souvenir que, pour le mouvement se réduit au mouvement képlérien.
