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CHAPITRE XXVI.

Mouvement d’un liquide.

291.Pour mieux faire comprendre le principe de la démonstration je vais d’abord prendre un exemple simple.

Considérons un liquide enfermé dans un vase de forme invariable et qu’il remplit complètement. Soient $x,$ $y,$ $z$ les coordonnées d’une molécule liquide, $u,$ $v,$ $w$ les composantes de sa vitesse, de telle façon que les équations du mouvement s’écrivent

(1)

${\frac {dx}{u}}={\frac {dy}{v}}={\frac {dz}{w}}=dt.$

Les composantes $u,\,v,\,w$ sont des fonctions que je suppose données de $x,$ $y,$ $z$ et $t.$

Je supposerai le mouvement permanent de telle façon que $u,$ $v,$ $w$ ne dépendent que de $x,$ $y$ et $z.$

Comme le liquide est incompressible, on aura

${\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dy}}+{\frac {dw}{dz}}=0.$

En d’autres termes, le volume

$\int dx\,dy\,dz$

est un invariant intégral.

Étudions la trajectoire d’une molécule quelconque : je dis que cette molécule repassera une infinité de fois aussi près que l’on voudra de sa position initiale. Plus exactement, soit $\mathrm {U}$ un volume quelconque intérieur au vase et aussi petit que l’on voudra ; je dis qu’il y aura des molécules qui traverseront une infinité de fois ce volume.

Soit $\mathrm {U} _{0}$ un volume quelconque intérieur au vase ; les molécules liquides qui remplissent ce volume à l’instant 0 rempliront à l’instant $\tau$ un certain volume $\mathrm {U} _{1},$ à l’instant $2\tau$ un certain volume $\mathrm {U} _{2},\,\ldots ,$ à l’instant $n\tau$ un certain volume $\mathrm {U} _{n}.$

L’incompressibilité du liquide ou, ce qui revient au même, l’existence de l’invariant intégral nous montre que tous les