143
STABILITÉ À LA POISSON.
volumes
![{\displaystyle \mathrm {U} _{0},\quad \mathrm {U} _{1},\quad \mathrm {U} _{2},\quad \ldots ,\quad \mathrm {U} _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f8c0e947190c75b0bc333d0d56911323cf75b2a)
sont égaux entre eux.
Soit
le volume total du vase, si
![{\displaystyle \mathrm {V} <(n+1)\mathrm {U} _{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aff1d2acc6a3ac79dc89b6f8adfde293c24fe0bc)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {V} <\mathrm {U} _{0}+\mathrm {U} _{1}+\mathrm {U} _{2}+\ldots +\mathrm {U} _{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98981d2a7cb57c03bf162f3cf63c8f3613c1a12c)
Il est donc impossible que tous ces volumes
soient tous extérieurs les uns aux autres ; il faut que deux au
moins d’entre eux,
et
par exemple, aient une partie
commune.
Je dis que, si
et
ont une partie commune, il en sera de
même de
et
(en supposant par exemple
). Soit en
effet
un point commun à
et à
la molécule qui est au
point
à l’instant
est à l’instant 0 en un point
appartenant
à
puisque le point
appartient à
De même la molécule qui est au point
à l’instant
est à
l’instant
au point
puisque le mouvement est permanent ;
elle est, d’autre part, à l’instant 0, en un point
appartenant
à
puisque
appartient à
et nous devons en conclure
en outre que
appartient à
Donc
et
ont des points communs.
C. Q. F. D.
Soit
cette partie commune, et formons
avec
comme nous avons formé
avec
Nous pourrons
trouver un nombre
tel que
et
aient une partie commune.
Soit
cette partie commune.
Nous pourrons trouver un nombre
tel que
et
aient une
partie commune.
Et ainsi de suite.
Il résulte de là que
fait partie de
de
de
En général,
fera partie de
Quand le nombre
croît
indéfiniment, le volume
devient donc de plus en plus petit.
D’après un théorème bien connu, il y aura au moins un point,