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STABILITÉ À LA POISSON.
Les équations
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {V} }{d\xi }}+n^{2}\xi ={\frac {d\mathrm {V} }{d\eta }}+n^{2}\eta =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8d2b9a34fcd3ff16a79e836025fbc5f15f0389e)
qui expriment que le premier membre de (4) a ses deux dérivées
nulles, n’ont donc que cinq solutions, à savoir les points
et
sommets des triangles équilatéraux, les points
et
situés
sur l’axe des
nous supposerons que ces points s’y rencontrent
dans l’ordre suivant
![{\displaystyle -\infty ,\quad \mathrm {A} _{1},\quad m_{1},\quad \mathrm {A} _{2},\quad m_{2},\quad \mathrm {A} _{3},\quad +\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b4e0cc67536bb32becdb8979b915c41f54775ad)
Il reste à savoir quels sont ceux de ces points qui correspondent
à un minimum, nous savons d’avance qu’il y en a deux.
Remarquons que si nous faisons varier d’une manière continue
les deux masses
et
un quelconque des cinq points
et
correspondra toujours à un minimum ou n’y correspondra jamais.
On ne pourrait, en effet, passer d’un cas à l’autre que si le hessien
du premier membre de (4) s’annulait, c’est-à-dire si deux des
points
et
se confondaient, ce qui n’arrivera jamais.
Il suffira donc d’examiner un cas particulier, par exemple celui
où
Dans ce cas, la symétrie suffit pour nous avertir que
les deux solutions
et
doivent être de même nature, de
même que les deux solutions
et
ce sont donc
et
seulement, ou bien
et
seulement qui correspondent à un
minimum. Donc
ne correspond pas à un minimum.
On reconnaîtrait que
ne correspond pas à un minimum.
Les deux minima correspondent donc à
et
Supposons maintenant
beaucoup plus petit que
ce qui
est le cas de la nature.
Pour des valeurs suffisamment grandes de
la courbe
![{\displaystyle \mathrm {V} +{\frac {n^{2}}{2}}(\xi ^{2}+\eta ^{2})=-h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e592b65ad36a692b94fac77c152cb7492eb3df51)
se composera de trois branches fermées
entourant
entourant
et
entourant
et
Pour des valeurs plus petites,
elle comprendra deux branches fermées,
entourant
et
entourant ![{\displaystyle \mathrm {C} _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a60c87f62fae895a8b65420fb8835518fde30d)
Pour des valeurs plus petites encore, nous aurions une seule
branche fermée laissant
et
en dehors, et entourant
et