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CHAPITRE XXVI.

Comme $\xi '^{2}+\eta '^{2}$ est essentiellement positif, on doit avoir

(4)

\mathrm {V} +{\frac {n^{2}}{2}}(\xi ^{2}+\eta ^{2})>-h.

Nous sommes donc conduits à construire les courbes

\mathrm {V} +{\frac {n^{2}}{2}}(\xi ^{2}+\eta ^{2})=\mathrm {const.}

Le premier membre de la relation (4) est essentiellement positif, car nous avons

\mathrm {V} ={\frac {m_{1}}{r_{1}}}+{\frac {m_{2}}{r_{2}}},

où $m_{1}$ et $m_{2}$ sont les masses des deux corps principaux, $r_{1}$ et $r_{2}$ leurs distances à la masse nulle. Le premier membre de (4) devient infini pour $r_{1}=0,$ pour $r_{2}=0$ ainsi qu’à l’infini ; il doit donc avoir au moins un minimum et deux points où ses deux dérivées premières s’annulent sans qu’il y ait ni maximum, ni minimum.

Plus généralement, s’il y a $n$ minima ou maxima relatifs il y aura $n+1$ points où les deux dérivés s’annulent sans qu’il y ait ni maximum ni minimum.

Mais il est évident que ces points où les deux dérivées s’annulent correspondent à ces solutions particulières du problème des trois corps que Laplace a étudiées dans le Chapitre VI du Livre X de sa Mécanique céleste.

Or on obtient deux de ces points, en construisant sur $m_{1}m_{2}$ un triangle équilatéral, soit au-dessus, soit au-dessous de la droite $m_{1}m_{2}$ que nous prenons pour axe des $\xi .$ Le troisième sommet de ce triangle est une des solutions de la question.

Tous les autres points satisfaisant à la question sont sur l’axe des $\xi .$ Or il est aisé de voir que le premier membre de (4), quand $\xi$ varie de $-\infty$ à $+\infty ,$ présente trois minima et trois seulement, le premier entre l’infini et la masse $m_{1},$ le second entre les deux masses $m_{1}$ et $m_{2},$ le troisième entre l’infini et la masse $m_{2}.$

En effet la dérivée ${\frac {d\mathrm {V} }{d\xi }}+n^{2}\xi$ ne s’annule (pour $\eta =0$ ) qu’une seule fois dans chacun de ces intervalles, puisqu’elle est la somme de trois termes qui sont tous croissants.