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STABILITÉ À LA POISSON.
de manière que l’intégrale des forces vives s’écrive
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {d\xi }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {d\eta }{dt}}\right)^{2}\right]-\mathrm {V} =h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d3a3fb73ab16bd9c6253bc9a8f265a2decc45a8)
et si la fonction
et la constante
sont telles que les valeurs
de
et de
restent limitées, il y aura stabilité à la Poisson.
Mais ce n’est pas tout, il en est encore de même dans un cas
plus étendu.
Soient
les coordonnées de
points matériels.
Soit
la fonction des forces dépendant de ces
variables.
Soient
les masses correspondantes, de telle
façon que nous désignons indifféremment par
ou par
la masse du point matériel dont les coordonnées sont
et
Les équations s’écriront
![{\displaystyle m_{i}\,{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}={\frac {d\mathrm {V} }{dx_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06941d764cbd779ae520d099d794b027486db07e)
et l’intégrale des forces vives s’écrira
![{\displaystyle \sum {\frac {m_{i}}{2}}\left({\frac {dx_{i}}{dt}}\right)^{2}=\mathrm {V} +h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7baf1c0a20d4079ff735ebeac8f9a92333d82cd1)
Si la fonction
et la constante
sont telles que, en vertu de
cette égalité, les coordonnées
soient limitées, il y aura stabilité
à la Poisson.
En effet, ce qu’il s’agit de démontrer, c’est que l’invariant
intégral
![{\displaystyle \int dx_{1}'\,dx_{2}'\,\ldots \,dx_{n}'\,dx_{1}\,dx_{2}\,\ldots \,dx_{n}\qquad \left(x_{i}'={\frac {dx_{i}}{dt}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd635d3c76c22f2895fae20fc8c9181697da3d70)
est fini quand l’intégration est étendue au domaine que j’ai
appelé
et qui est défini par les inégalités
(1)
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Appelons
l’intégrale
![{\displaystyle \int dx_{1}'\,dx_{2}'\,\ldots \,dx_{n}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90841beb02f093c750483fd2b7950d6946fdd4a6)
étendue au domaine défini par l’inégalité
![{\displaystyle \sum {\frac {m_{i}}{2}}x_{i}'^{2}<1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa4d0b0937c76e1ea582e182b171d9d1616d9286)