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CHAPITRE XXVI.

La même intégrale étendue au domaine

$\sum {\frac {m_{i}}{2}}x_{i}'^{2}<\mathrm {R} ^{2}.$

sera évidemment

$\mathrm {AR} ^{n}.$

Étendue au domaine défini par les inégalités (1), elle sera

$\mathrm {A} \left[\left(\mathrm {V} +h+\varepsilon \right)^{\frac {n}{2}}-\left(\mathrm {V} +h-\varepsilon \right)^{\frac {n}{2}}\right],$

ou, puisque $\varepsilon$ est très petit,

$n\mathrm {A} \varepsilon \left(\mathrm {V} +h\right)^{{\frac {n}{2}}-1}.$

Notre invariant intégral est donc égal à

(2)

$n\mathrm {A} \varepsilon \int \left(\mathrm {V} +h\right)^{{\frac {n}{2}}-1}\,dx_{1}\,dx_{2}\,\ldots \,dx_{n},$

l’intégration devant être étendue à tous les points tels que $\mathrm {V} +h$ soit positif.

D’après mon hypothèse, le domaine $\mathrm {V} +h>0$ est limité.

Il sera alors aisé de reconnaître si l’intégrale (2) est finie ou infinie.

Elle sera toujours finie si $n=2\,;$ car alors l’exposant de $\mathrm {V} +h$ est nul.

Supposons maintenant que $n$ soit $>2$ et que $\mathrm {V} +h$ devienne infiniment grand d’ordre $p$ quand la distance des deux points $x_{1},\,x_{2},\,x_{3}$ et $x_{4},\,x_{5},\,x_{6},$ devient infiniment petite du premier ordre. Alors la quantité sous le signe $\textstyle \int$ dans l’intégrale (2) est de l’ordre

$p\left({\frac {n}{2}}-1\right).$

La variété

$x_{1}=x_{4},\qquad x_{2}=x_{5},\qquad x_{3}=x_{6}$

a $n-3$ dimensions ; l’intégrale est d’ordre $n\,;$ la condition pour que l’intégrale soit finie s’écrit donc

$n-(n-3)>p\left({\frac {n}{2}}-1\right),$