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CHAPITRE XXVII.
306.Soit alors une courbe fermée située dans le demi-plan
et enveloppant une aire Soit la conséquente
de ce sera aussi une courbe fermée qui enveloppera
une aire et cette aire sera la conséquente de
Si l’intégrale (5), étendue à et à a pour valeur et
on aura
et il suit de là que ne pourra être une partie de et une
partie de
Quatre hypothèses peuvent être faites sur la position relative
des deux courbes fermées et
1o est intérieur à
2o est intérieur à
3o Les deux courbes sont extérieures l’une à l’autre ;
4o Les deux courbes se coupent.
L’équation exclut les deux premières de ces hypothèses.
Si, pour une raison quelconque, la troisième se trouve également
exclue, on sera certain que les deux courbes se coupent.
Supposons, par exemple, que dépendent d’un paramètre
arbitraire et que, pour soit sa propre conséquente ;
alors, pour les valeurs très petites de différera très
peu de il ne pourra donc pas arriver que les deux courbes
et soient extérieures l’une à l’autre, et il faudra qu’elles se coupent.
Courbes invariantes.
307.J’appellerai courbe invariante toute courbe qui sera sa
propre conséquente.
Il est aisé de former des courbes invariantes ; soient, en effet,
un point quelconque du demi-plan, son conséquent ; joignons
à par un arc de courbe quelconque soit le conséquent
de celui de et ainsi de suite. L’ensemble des
arcs de courbe constituera évidemment une
courbe invariante.
Mais nous serons amenés aussi à envisager des courbes invariantes
dont la génération sera plus naturelle.
Supposons que les équations (1) admettent une solution pério-