Soient ces exposants et soit
le jacobien sera égal au produit
Pour le jacobien s’annule ainsi que ses mineurs des premiers ordres ; il en résulte que des exposants sont multiples de Donc, des facteurs s’annulent pour et sont, par conséquent, divisibles par Le produit, c’est-à-dire le jacobien sera donc divisible par
Nous supposerons que pour aucun des ne s’annule ; c’est ce que nous avions déjà supposé plus haut. Dans ces conditions aucun des n’est divisible par Donc le produit n’est pas divisible par
Ainsi, le jacobien est divisible par mais pas par
Il résulte de là que le déterminant des est différent de zéro, et par conséquent qu’aucun des ne s’annule identiquement.
Le cas le plus simple est celui où, pour les termes du deuxième degré ne disparaissent pas dans les et où ces termes du deuxième degré ne peuvent pas s’annuler à la fois, à moins que tous les ne s’annulent à la fois.
Soit alors l’ensemble des termes du deuxième degré de pour
Il suffira alors d’envisager les équations algébriques
dont les premiers membres sont des polynômes homogènes du deuxième degré par rapport à et aux
Si ces équations admettent des solutions réelles, nous aurons des solutions périodiques du deuxième genre.
Je ne développerai pas la discussion dans les autres cas, me réservant de la faire complètement en ce qui concerne les équations de la Dynamique.