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SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.

Les équations (3) n’étant pas distinctes peuvent être remplacées par $n-1$ d’entre elles, par exemple par

$\psi _{1}=\psi _{2}=\ldots =\psi _{n-1}=0.$

Considérons alors le système

(3 bis)

${\begin{aligned}\psi _{1}&=\psi _{2}=\ldots =\psi _{n-1}=0,&\mathrm {F} \left[\varphi _{i}(0)+\beta _{i}\right]&=\mathrm {C} _{0}.\end{aligned}}$

Les équations (3 bis) représentent non plus une surface mais une courbe dont fait partie la droite

(4)

$\beta _{i}=0.$

Pour que par un point de la droite (4) passe une autre branche de courbe, il faut que le jacobien de

$\psi _{1},\quad \psi _{2},\quad \ldots ,\quad \psi _{n-1},\quad \mathrm {F} ,$

par rapport aux $\beta ,$ s’annule.

Cette condition peut encore se mettre sous une autre forme.

Supposons que nous résolvions l’équation

$\mathrm {F} (x_{i})=\mathrm {C} _{0}$

par rapport à $x_{n}$ et que cette résolution donne

$x_{n}=\theta (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1}).$

Substituons $\theta$ à la place de $x_{n}$ dans $\mathrm {X} _{i},$ et soit $\mathrm {X} _{i}^{\prime }$ le résultat de cette substitution.

Les équations (1) se trouveront ainsi remplacées par les suivantes

(1 bis)

${\frac {dx_{i}}{dt}}=\mathrm {X} _{i}^{\prime }\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n-1).$

Ces équations (1 bis) admettront pour solution périodique

$x_{i}=\varphi _{i}(t).$

Les exposants caractéristiques de cette solution périodique, considérée comme appartenant aux équations (1 bis), seront au nombre de $n-1.$ Soient $\alpha _{1},$ $\alpha _{2},\,\ldots ,$ $\alpha _{n-1}$ ces $n-1$ exposants. Ce seront les mêmes que ceux de cette solution périodique $x_{i}=\varphi _{i}(t),$ considérée comme appartenant aux équations (1) en supprimant celui des $n$ exposants qui est égal à zéro.