Pour que dans le voisinage d’un point de la droite (4), les équations (1) admettent des solutions périodiques du second genre, il faut et il suffit que les équations (1 bis) en admettent, c’est-à-dire qu’en un point de la droite (4) l’un des exposants caractéristiques soit multiple de
Ainsi, la condition énoncée plus haut que le jacobien de est nul est susceptible d’un énoncé tout différent. Pour qu’elle soit remplie, il faut que deux des exposants soient multiples de cela est toujours vrai d’un d’entre eux qui est nul ; cela doit être vrai d’un second exposant.
Supposons cette condition remplie. Des équations (3 bis) nous tirerons les en séries ordonnées suivant les puissances entières et fractionnaires de Je ne ferai pas la discussion pour savoir si ces séries sont réelles.
318.Supposons maintenant que les ne dépendent pas explicitement du temps, et que les équations (1) admettent une intégrale
Dans ce cas, d’après le no 66, deux des exposants caractéristiques sont nuls. Si, pour un système de valeurs de et de les équations admettent une solution périodique, elles en admettront encore pour les valeurs voisines de sorte que nous aurons une double infinité de solutions périodiques
dépendant des deux paramètres et La période ne sera pas constante, ce sera une fonction de et de
Donnons alors à une valeur déterminée et soient encore
les valeurs de pour et pour
Aux équations
(3) |
nous adjoindrons d’abord l’équation et ensuite une relation arbitraire entre les par exemple