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CHAPITRE XXVIII.

dans l’analyse du n^o 331, soit homogène du troisième degré seulement en $x_{1}$ et $x_{2}.$

L’équation

(1)

${\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dx_{1}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}}{dx_{2}}}-{\frac {d\mathrm {U} _{0}}{dx_{2}}}{\frac {d\mathrm {U} _{1}}{dx_{1}}}$

admet toujours, comme nous l’avons vu, des racines réelles.

Le théorème est ici d’ailleurs évident, puisque cette équation est du troisième degré en ${\frac {x_{1}}{x_{2}}}.$ Elle peut avoir une ou trois racines réelles ; supposons d’abord qu’elle n’en ait qu’une pour fixer les idées.

Si alors nous posons

${\begin{aligned}x_{1}&=\alpha _{1}\rho \cos \varphi +b_{1}\rho \sin \varphi \\x_{1}&=\alpha _{2}\rho \cos \varphi +b_{2}\rho \sin \varphi ,\end{aligned}}$

en choisissant les coefficients $a$ et $b$ de telle sorte que $\mathrm {U} _{1}$ se réduise à $-\rho ^{2},$ le rapport

${\frac {\mathrm {U} _{0}}{\mathrm {U} _{1}^{\frac {3}{2}}}}$  considéré au n^o 331

admettra seulement un- maximum et un minimum, quand $\varphi$ variera de $0$ à $2\pi \,;$ ce maximum et ce minimum d’ailleurs égaux et de signes contraires correspondront à des valeurs de $\varphi$ distantes de $\pi .$

On aura alors

$\mathrm {U} _{0}+z\,\mathrm {U} _{1}=\rho ^{3}f(\varphi )-z\rho ^{2}.$

La fonction $f(\varphi )$ présente un maximum et un minimum égaux et de signes contraires ; la fonction $\mathrm {U} _{0}+z\mathrm {U} _{1}$ présente alors :

Pour $z>0,$ un maximum pour $\rho =0,$ et deux minimax.

Pour $z<0,$ un minimum pour $\rho =0,$ et deux maxima.

J’appelle minimax, à l’exemple des Anglais, un point pour lequel les dérivées premières s’annulent et où il n’y a ni maximum, ni minimum.

La fonction $\mathrm {V}$ se comportera de la même manière, puisque, si $z$ est très petit, les termes $\mathrm {U} _{0}+z\mathrm {U} _{1}$ auront seuls de l’influence.