336.Soient
une double série de variables et une fonction quelconque de
ces variables. Considérons l’intégrale
La variation de cette intégrale peut s’écrire
Pour que cette variation s’annule, il faut d’abord que l’on ait
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ce qui nous donne les équations canoniques, mais cette condition
n’est pas suffisante. Si elle est remplie, on a
et il faut encore que le second membre de cette égalité soit nul.
C’est ce qui arrive si l’on suppose que les sont nuls aux deux
limites, c’est-à-dire que les valeurs initiales et finales des sont
données. Dans ces conditions, l’intégrale qu’on appelle l’action
est minimum.
Changeons de variables ; soient les nouvelles variables et
imaginons qu’elles aient été choisies de telle sorte que
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