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CHAPITRE XXIX.

soit une différentielle exacte. Dans ce cas nous avons vu que le changement de variables n’altère pas la forme canonique des équations et ce résultat est d’ailleurs une conséquence immédiate des diverses propositions qui vont suivre ; soit alors

$\mathrm {J} '=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(-\mathrm {F} +\sum y_{i}'\,{\frac {dx_{i}'}{dt}}\right)dt.$

On a

$\mathrm {J} '-\mathrm {J} =\int {\frac {d\mathrm {S} }{dt}}\,dt=\mathrm {S} _{1}-\mathrm {S} _{0},$

$\mathrm {S} _{0}$ et $\mathrm {S} _{1}$ étant les valeurs de la fonction $\mathrm {S}$ pour $t=t_{0}$ et $t=t_{1}.$

On a donc

(3)

$\delta \mathrm {J} '=\delta \mathrm {J} +{\big [}\delta \mathrm {S} {\big ]}_{t=t_{0}}^{t=t_{1}}$

Si les équations canoniques (1) sont satisfaites, on a

(4)

$\delta \mathrm {J} =+{\big [}y_{i}\,\delta x_{i}{\big ]}_{t=t_{0}}^{t=t_{1}},$

et, par conséquent, en vertu de (2) et de (3),

(4 bis)

$\delta \mathrm {J} '=+{\big [}y_{i}'\,\delta x_{i}'{\big ]}_{t=t_{0}}^{t=t_{1}},$

Mais, de même que la relation (4) est équivalente aux équations (1), la relation (4 bis) est équivalente aux équations

(1 bis)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\cdot \end{aligned}}$

Or, nous venons de voir que (4) équivaut à (4 bis) ; les équations (1) sont équivalentes aux équations (1 bis), ce qui veut dire, comme nous le savions déjà, que le changement de variables n’altère pas la forme canonique des équations.

Alors l’action $\mathrm {J} '$ sera minimum quand on supposera que les valeurs initiales et finales des variables $x_{i}'$ sont données. À chaque système de variables canoniques correspond donc une forme nouvelle du principe de moindre action.

Les équations (1) entraînent l’intégrale des forces vives

(5)

$\mathrm {F} =h$

où $h$ est une constante.

Nous avons supposé jusqu’à présent que les deux limites $t_{0}$ et $t_{1}$