250
CHAPITRE XXIX.
soit une différentielle exacte. Dans ce cas nous avons vu que le
changement de variables n’altère pas la forme canonique des
équations et ce résultat est d’ailleurs une conséquence immédiate
des diverses propositions qui vont suivre ; soit alors
On a
et étant les valeurs de la fonction pour et
On a donc
(3)
|
|
|
Si les équations canoniques (1) sont satisfaites, on a
(4)
|
|
|
et, par conséquent, en vertu de (2) et de (3),
(4 bis)
|
|
|
Mais, de même que la relation (4) est équivalente aux équations (1),
la relation (4 bis) est équivalente aux équations
(1 bis)
|
|
|
Or, nous venons de voir que (4) équivaut à (4 bis) ; les
équations (1) sont équivalentes aux équations (1 bis), ce qui veut dire,
comme nous le savions déjà, que le changement de variables
n’altère pas la forme canonique des équations.
Alors l’action sera minimum quand on supposera que les
valeurs initiales et finales des variables sont données. À chaque
système de variables canoniques correspond donc une forme nouvelle
du principe de moindre action.
Les équations (1) entraînent l’intégrale des forces vives
(5)
|
|
|
où est une constante.
Nous avons supposé jusqu’à présent que les deux limites et