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CHAPITRE XXIX.

est alors minimum, quand on regarde comme données les limites $t_{0}$ et $t_{1}$ ainsi que les valeurs initiales et finales de $\xi$ et de $\eta .$

L’intégrale des forces vives s’écrit alors

$\mathrm {H} _{2}=\mathrm {H} _{0}+h$

et nous avons vu que l’intégrale

$\mathrm {J} '=\int (\mathrm {H} _{2}+\mathrm {H} _{1}+\mathrm {H} _{0}+h)\,dt=\mathrm {J} +h(t_{1}-t_{0})$

est minimum lors même qu’on ne regarde pas $t_{0}$ et $t_{1}$ comme donnés.

On trouve alors

$\mathrm {J} '=\int (2\mathrm {H} _{2}+\mathrm {H} _{1})dt=\int \left[ds\,{\sqrt {\mathrm {H} _{0}+h}}+\omega '(\xi \,d\eta -\nu \,d\xi )\right]$

en posant

$ds^{2}=d\xi ^{2}+d\eta ^{2}.$

C’est le principe de Maupertuis généralisé.

Dans les problèmes que nous traiterons, $\mathrm {U}$ sera toujours positif, et, par conséquent, $\mathrm {J}$ sera essentiellement positif.

Il n’en sera pas toujours de même de $\mathrm {J} '.$ En effet, si $h$ est négatif, nous devrons supposer que le point $\xi ,\,\eta$ reste cantonné dans le domaine défini par l’inégalité

$\mathrm {H} _{0}+h>0.$

Le premier terme de la quantité sous le signe $\textstyle \int$ qui est $ds\,{\sqrt {\mathrm {H} _{0}+h}}$ est essentiellement positif ; il n’en sera pas ainsi du second qui change de signe quand on renverse le sens dans lequel la trajectoire est supposée parcourue.

Si le point $\xi ,\,\eta$ est très voisin du bord du domaine où il est confiné, si, par conséquent, $\mathrm {H} _{0}+h$ est très petit, le premier terme sera très petit et ce sera le second qui donnera son signe.

$\mathrm {J} '$ n’est donc pas essentiellement positif. On s’en rend compte aussi à l’aide de l’équation

$\mathrm {J} '=\mathrm {J} +h(t_{1}-t_{0}).$

Si $h$ est négatif, le premier terme $\mathrm {J}$ est positif et le second négatif.