259
DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.
tion nous donne approximativement
![{\displaystyle \omega '={\frac {p}{\mathrm {I} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d81f8170db15d99ee8e280b31844b2f52c725790)
et plus exactement
![{\displaystyle \omega '={\frac {p}{\mathrm {I} }}-{\frac {1}{\mathrm {I} }}{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{d\omega '}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69defc734880d599e17db3f2a29887d867beef41)
De plus
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {I} \omega '^{2}}{2}}={\frac {p^{2}}{2\mathrm {I} }}-{\dfrac {p\,{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{d\omega '}}}{\mathrm {I} }}+{\frac {1}{2\mathrm {I} }}\left({\frac {d\mathrm {T} _{1}}{d\omega '}}\right)^{2}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d1cbea6b86cb634637320bc9ab47f151b741897)
On trouve ainsi
![{\displaystyle \mathrm {H} ''=\mathrm {T} _{1}+\mathrm {U} -{\frac {p^{2}}{2\mathrm {I} }}+{\frac {1}{2\mathrm {I} }}\left({\frac {d\mathrm {T} _{1}}{d\omega '}}\right)^{2}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b38e599c2eb992e58966d24c14b2d28249486621)
Dans le second membre, l’avant-dernier terme est une constante ;
le dernier est négligeable parce que
est très grand.
Comme on peut, sans rien changer au principe de Hamilton,
ajouter à
une constante quelconque, nous pourrons poser
![{\displaystyle \mathrm {H} '=\mathrm {T} _{1}+\mathrm {U} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f94d314994dc02c5ff7c33e45953331e68e7325)
et nous saurons que l’intégrale
![{\displaystyle \mathrm {J} ''=\int \mathrm {H} ''\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/483bdc627ab5e216b85ec21fe0d35eba11bc1f57)
doit être minimum (alors même que les valeurs initiale et finale
de
ne sont pas données).
Dans l’expression de
doit être regardée comme une constante
donnée ;
est alors une fonction quadratique, non homogène
par rapport aux
de la forme
Soit, par exemple, un point matériel de masse 1 se mouvant dans
un plan et dont les coordonnées par rapport aux axes mobiles
sont
et
On aura
![{\displaystyle \mathrm {T} _{1}={\frac {(\xi '\!-\omega '\eta )^{2}+(\eta '\!-\omega '\xi )^{2}}{2}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/342e7b7ae757522fbb8e68607de4a1cce81bd384)
Il viendra donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {H} _{2}&={\frac {\xi '^{2}\!+\eta '^{2}}{2}},&\mathrm {H} _{1}&=\omega '(\xi \eta '\!-\xi '\eta ),&\mathrm {H} _{0}&={\frac {\omega '^{2}}{2}}(\xi ^{2}\!+\eta ^{2})+\mathrm {U} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc234aac1abf83dd69c6eac1ec53f344b39bb053)
L’intégrale
![{\displaystyle \mathrm {J} =\int _{t_{0}}^{t_{1}}(\mathrm {H} _{2}+\mathrm {H} _{1}+\mathrm {H} _{0})\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/957a4c41794062f53ed14aedceaaa42a5793c630)