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CHAPITRE XXIX.

il faut et il suffit que les $x_{i}$ satisfassent à $n$ équations différentielles du deuxième ordre que j’appellerai les équations (C).

Soit

$x_{i}=\varphi _{i}(t)$

une solution de ces équations.

Posons, pour une solution infiniment voisine

$x_{i}=\varphi _{i}(t)+\xi _{i},$

et formons les équations aux variations, équations linéaires auxquelles satisfont les $\xi _{i}$ et que j’appellerai (D).

La solution générale de ces équations (D) sera de la forme

$\xi _{i}=\sum _{k=1}^{k=2n}\mathrm {A} _{k}\xi _{ik}\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n).$

Les $\mathrm {A} _{k}$ sont $2n$ constantes d’intégration, les $\xi _{ik}$ sont $2n^{2}$ fonctions de $t,$ parfaitement déterminées et correspondant à $2n$ solutions particulières des équations linéaires (D).

Cela posé, écrivons que les $\xi _{i}$ s’annulent tous pour deux époques données $t=t',$ et pour $t=t''\,;$ nous aurons $2n$ équations linéaires entre lesquelles nous pourrons éliminer les $2n$ inconnues $\mathrm {A} _{k}.$

Nous obtiendrons ainsi l’équation

$\Delta (t',t'')=0,$

où $\Delta$ est le déterminant

$\Delta =\left|{\begin{array}{cccc}\xi _{1.1}'&\xi _{1.2}'&\ldots &\xi _{1.2n}'\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots .\\\xi _{n.1}'&\xi _{n.2}'&\ldots &\xi _{n.2n}'\\\xi _{1.1}''&\xi _{1.2}''&\ldots &\xi _{1.2n}''\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots .\\\xi _{n.1}''&\xi _{n.2}''&\ldots &\xi _{n.2n}''\end{array}}\right|\,;$

$\xi _{ik}'$ et $\xi _{ik}''$ sont ce que devient la fonction $\xi _{ik}$ quand on y remplace $t$ par $t'$ et par $t''.$

Si les époques $l'$ et $t''$ satisfont à l’équation $\Delta =0,$ nous dirons que ce sont deux époques conjuguées et que les deux points $\mathrm {M} '$ et $\mathrm {M} ''$ de l’espace à $n$ dimensions, qui ont respectivement pour coor-