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DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.
données
sont deux points conjugués.
Si de plus est celle des époques conjuguées de et postérieure
à qui est la plus voisine de nous dirons que est le
foyer de
Nous pouvons maintenant énoncer la condition (B) : c’est
qu’entre et ne se trouve aucune époque conjuguée de
Pour que soit un minimum, il faut et il suffit que les conditions (A)
et (B) soient remplies.
On peut tirer de là une conséquence immédiate.
Soient quatre époques.
Soient les points correspondants de la courbe
Supposons que soit le foyer de et celui de
Si la condition (A) est remplie on pourra avoir
ou
ou
Mais on ne pourra pas avoir
sans quoi l’intégrale
devrait être minimum puisque la condition (B) est remplie, et
l’intégrale
ne serait pas minimum puisque la condition (B) ne serait pas
remplie en ce qui la concerne.
Cela est impossible puisqu’on peut faire varier les fonctions
entre et sans les faire varier entre et