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DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.
données
![{\displaystyle {\begin{array}{cccc}\varphi _{1}(t'),&\varphi _{2}(t'),&\ldots ,&\varphi _{n}(t'),\\\varphi _{1}(t''),&\varphi _{2}(t''),&\ldots ,&\varphi _{n}(t''),\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/677bfc60a9506d30901248c6ec3a2b2975e444e4)
sont deux points conjugués.
Si de plus
est celle des époques conjuguées de
et postérieure
à
qui est la plus voisine de
nous dirons que
est le
foyer de
Nous pouvons maintenant énoncer la condition (B) : c’est
qu’entre
et
ne se trouve aucune époque conjuguée de
Pour que
soit un minimum, il faut et il suffit que les conditions (A)
et (B) soient remplies.
On peut tirer de là une conséquence immédiate.
Soient
quatre époques.
Soient
les points correspondants de la courbe
![{\displaystyle x_{1}=\varphi _{1}(t),\quad x_{2}=\varphi _{2}(t),\quad \ldots ,\quad x_{n}=\varphi _{n}(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1add88befe2b600c6b9e065957f29dd98a380ac8)
Supposons que
soit le foyer de
et
celui de
Si la condition (A) est remplie on pourra avoir
![{\displaystyle t_{0}<t_{1}<t_{2}<t_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/987752bfb9383249dbabec6dc1e00f889c58bc1d)
ou
![{\displaystyle t_{0}<t_{2}<t_{1}<t_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60e93e6cb97a0aa9a906a610bb1501c9e113dcb7)
ou
![{\displaystyle t_{2}<t_{3}<t_{0}<t_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e14ed40a41ef517606261c35d797962805c5b804)
Mais on ne pourra pas avoir
![{\displaystyle t_{0}<t_{2}<t_{3}<t_{1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce9390a2f22855b6d79ab0756e2001130d1af86b)
sans quoi l’intégrale
![{\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{1}-\varepsilon }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c4d18c6fe37e1351c6668d391b5c144706d762d)
devrait être minimum puisque la condition (B) est remplie, et
l’intégrale
![{\displaystyle \int _{t_{3}}^{t_{1}-\varepsilon }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a66e08f59688d0cfce3c413deddbd2b5aff7b642)
ne serait pas minimum puisque la condition (B) ne serait pas
remplie en ce qui la concerne.
Cela est impossible puisqu’on peut faire varier les fonctions
entre
et
sans les faire varier entre
et