272
CHAPITRE XXIX.
et, de plus,
sera le foyer de
si
![{\displaystyle \tau ''-\tau '={\frac {i\,\pi }{\alpha '}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d65c8cc042a409a010ebf8253815182dfcd4ae6f)
348..Ainsi se trouve justifiée l’une de nos trois hypothèses,
que
doit être périodique. Je dis maintenant que la fonction
doit, comme nous l’avons supposé, être constamment croissante.
Supposons en effet que cette fonction admette un maximum
pour
nous pourrions alors trouver deux époques
et
telles que les valeurs correspondantes
et
de la fonction
soient égales, et deux autres époques,
et
telles que
telles enfin que les cinq époques d’ailleurs très voisines l’une de
l’autre, satisfassent aux inégalités
![{\displaystyle t_{2}'<t_{1}'<t_{0}<t_{1}''<t_{2}''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/801fe729263aebe81762117c3daa92df4f21679e)
Alors
serait le foyer de
celui de
or, nous avons vu
plus haut que de pareilles inégalités sont impossibles quand la
condition (A) est remplie.
Je dis maintenant que
ne peut s’annuler ; en effet, on a
![{\displaystyle \zeta (t)={\frac {\xi _{1}\eta _{2}-\xi _{2}\eta _{1}}{\xi _{1}\eta _{3}-\xi _{3}\eta _{1}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1abfee2279f9c7929093b224a465b65f784131a)
Le numérateur et le dénominateur de
sont imaginaires
conjugués ; si l’un d’eux s’annule, l’autre s’annule également, de
sorte que la fonction
ne peut devenir ni nulle ni infinie.
Ainsi se trouvent justifiées toutes nos hypothèses.
Solutions instables.
349.Supposons maintenant la solution instable et
positif ;
dans ce cas
sont réels.
Pour la même raison que plus haut, la fonction
sera constamment
croissante ; mais deux hypothèses sont possibles :
1o Ou bien
ne peut s’annuler ni devenir infini et croît
constamment de
à
quand
croît de
à
Il arrive alors qu’aucun point de notre solution périodique
n’a de foyer maupertuisien.