Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/288

276

CHAPITRE XXIX.

qui correspond à la fonction $\zeta (t)$ des numéros précédents puisse s’annuler et par conséquent devenir infini.

Or, on peut évidemment construire une fonction périodique $\mathrm {G}$ satisfaisant aux conditions suivantes :

1^o Elle admettra deux zéros simples et deux seulement ;

2^o Ces zéros annuleront également

${\frac {d^{2}\mathrm {G} }{dt^{2}}}+2\alpha {\frac {d\mathrm {G} }{dt}}\cdot$

Il en résulte que toutes les fois que

$\zeta =e^{\alpha t}\mathrm {G}$

s’annulera, sa dérivée seconde s’annulera également de telle façon que le rapport

${\frac {1}{\zeta }}{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}=\varphi -3$

restera fini.

On peut évidemment construire une fonction $\mathrm {G}$ qui satisfasse à ces conditions ; la fonction périodique construite à l’aide de cette fonction $\mathrm {G}$ correspondra à une solution périodique instable de la deuxième catégorie.

Comme exemple de fonction $\mathrm {G}$ satisfaisant à cette condition, nous pouvons prendre

$\mathrm {G} =\sin t-{\frac {\alpha }{4}}\left(\cos t-\cos 3t\right).$

Cette fonction s’annule pour $t=0$ et $t=\pi \,;$ et elle n’a pas d’autre zéro si

$\alpha <{\frac {1}{\sqrt {5}}}\cdot$

D’ailleurs, pour $t=0$ et pour $t=\pi ,$ on a

${\frac {d^{2}\mathrm {G} }{dt^{2}}}+2\alpha {\frac {d\mathrm {G} }{dt}}=0.$

Pour que le rapport ${\frac {\mathrm {G} }{\mathrm {G} _{1}}}$ s’annule, il ne suffit pas que $\mathrm {G}$ s’annule, il faut encore que $\mathrm {G} _{1}$ ne s’annule pas.

Or, c’est ce qui arrive, car si $\mathrm {G}$ et $\mathrm {G} _{1}$ s’annulaient à la fois, les