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DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.

Posons

${\begin{aligned}\rho &=1+\zeta ,&\omega &=t+\nu \end{aligned}}$

et formons les équations aux variations ; elles s’écriront

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}&=\zeta +2{\frac {d\nu }{dt}}+\zeta \varphi (t),&{\frac {d^{2}\nu }{dt^{2}}}+2{\frac {d\zeta }{dt}}&=0.\end{aligned}}$

La seconde s’intègre immédiatement

${\frac {d\zeta }{d\beta }}+2\zeta =\mathrm {const.} \,;$

mais cette constante doit être nulle si nous voulons que la constante des forces vives ait même valeur pour la trajectoire $(\mathrm {T} )$ et pour la trajectoire infiniment voisine.

Si donc on remplace ${\frac {d\nu }{dt}}$ par $-2\zeta ,$ la première équation aux variations deviendra

(2)

${\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}=\zeta \left[\varphi (t)-3\right].$

L’équation (2) qu’il nous reste à intégrer est une équation linéaire à coefficient périodique.

Ces équations ont été traitées dans les n^os 29 et 189 (voir en outre Chapitre IV, passim).

On sait qu’elles admettent deux solutions de la forme suivante :

${\begin{aligned}\zeta &=e^{\alpha t}\mathrm {G} (t),&\zeta &=e^{-\alpha t}\mathrm {G} _{1}(t),&\end{aligned}}$

$\mathrm {G}$ et $\mathrm {G} _{1}$ étant des fonctions périodiques.

Nous allons trouver des exemples de tous les cas distingués plus haut. Supposons d’abord que $\varphi$ se réduise à une constante $\mathrm {A}$ (cas des forces centrales).

Si $\mathrm {A} <3,$ on aura une solution périodique stable.

Si $\mathrm {A} >3,$ il n’y aura pas sur $(\mathrm {T} )$ de foyer maupertuisien et nous aurons une solution périodique instable de la première catégorie.

Il me reste à faire voir qu’il peut aussi y avoir des solutions périodiques instables de la deuxième catégorie.

La solution sera instable et de la deuxième catégorie si $\mathrm {G}$ s’annule de telle façon que le rapport

$e^{2\alpha t}{\frac {\mathrm {G} }{\mathrm {G} _{1}}},$