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FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.

et $\Theta _{k}$ peut dépendre de

$\varpi ,\quad \gamma _{1}',\quad \gamma _{2}',\quad \ldots ,\quad \gamma _{k-1}'.$

Voyons de quelle manière. Supposons que l’on considère le développement

(15)

$\mathrm {F} =\Phi _{0}+\varepsilon \,\Phi _{1}+\varepsilon ^{2}\Phi _{2}+\ldots$

et que dans ce développement on remplace les $\xi ,$ les $\eta ,$ les $\xi '$ et les $\eta '$ par leurs valeurs ; les divers termes du développement dépendront alors des constantes (14). Dans ce développement (15), annulons toutes les constantes $\gamma '$ en conservant seulement $\varpi \,;$ nous obtiendrons ainsi un nouveau développement

(16)

$\Phi _{0}'+\varepsilon \,\Phi _{1}'+\varepsilon ^{2}\Phi _{2}'+\ldots .$

Dans le développement (16), remplaçons maintenant la constante $\varpi$ par le développement

$\varpi +\varepsilon \,\varpi _{1}+\varepsilon ^{2}\varpi _{2}+\ldots ,$

où $\varpi _{1},\,\varpi _{2}$ sont de nouvelles constantes. Chacun des termes du développement (16) peut à son tour se développer suivant les puissances de $\varepsilon \,;$ ordonnant de nouveau suivant les puissances de $\varepsilon ,$ nous obtenons un développement nouveau

(17)

$\Phi _{0}''+\varepsilon \,\Phi _{1}''+\varepsilon ^{2}\Phi _{2}''+\ldots .$

Ce développement doit être identique au développement (15) à la condition de remplacer les constantes $\varpi _{k}$ par des fonctions convenablement choisies des constantes $\gamma _{k}'.$

Il est aisé de voir que $\Phi _{k}''$ dépend seulement de

$\varpi ,\quad \varpi _{1},\quad \ldots ,\quad \varpi _{k-1}$

et que $\Phi _{k}$ dépend seulement de

$\varpi ,\quad \gamma _{1}',\quad \ldots ,\quad \gamma _{k-1}'.$

Nous en conclurons que $\varpi _{k}$ dépend seulement de

$\gamma _{1}',\quad \gamma _{2}',\quad \ldots ,\quad \gamma _{k}'$

et $\gamma _{k}'$ de

$\varpi _{1},\quad \varpi _{2},\quad \ldots ,\quad \varpi _{k}.$