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CHAPITRE XXX.

rentes des constantes $\xi _{0}$ et $u_{0}.$ Mais on voit que par ce changement $\xi _{0}$ et $u_{0}$ se sont changés en $k^{2}\xi _{0}$ et $k^{2}u_{0}.$

Donc

$\xi _{p},\quad \eta _{p},\quad \xi _{p}',\quad \eta _{p}'$

se changent en

$\xi _{p}k^{2-p},\quad \eta _{p}k^{-p},\quad \xi _{p}'k^{1-p},\quad \eta _{p}'k^{1-p}$

quand $\xi _{0}$ et $u_{0}$ se changent en $k^{2}\xi _{0}$ et $k^{2}u_{0}.$

En d’autres termes, si l’on multiplie respectivement les quatre développements (19) par $\varepsilon ^{2},\,1,\,\varepsilon ,\,\varepsilon ,$ les quatre produits ainsi obtenus seront développables suivant les puissances de

$\varepsilon ^{2}\xi _{0},\quad \varepsilon {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}\,;$

et il devra en être de même de $\lambda$ et de $\mu ,$ qui n’ont pas dû changer quand $\varepsilon ,\,$ $\xi _{0},$ $u_{0}$ se changeaient en ${\frac {\varepsilon }{k}},$ $k^{2}\xi _{0},$ $k^{2}u_{0}.$

Supposons donc $\lambda$ et $\mu$ exprimés en fonctions de $\varepsilon ^{2}\xi _{0}$ et $\varepsilon {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}\,;$ il est clair que nous aurons ainsi des relations d’où nous pourrons inversement tirer $\varepsilon ^{2}\xi _{0}$ et $\varepsilon {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}$ fonctions de $\lambda$ $et$ $\mu .$

365.Soit $k+2$ le dénominateur de $n\,;$ la constante $\varpi$ sera alors déterminée par l’équation

$\left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}}}\right]=0.$

Il n’y a d’exception que dans le cas de $k+2=2,$ où $\varpi$ est déterminée par

$\left[{\frac {d\Theta _{2}}{d\eta _{0}}}\right]=0.$

L’expression${\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}}}$ est un polynôme entier de degré $k+2$ par rapport à

$e^{\pm i(nt+\varpi )}.$

Chacun de ces termes contient donc des facteurs de la forme

$e^{\pm iq(nt+\varpi )}.$

Dans la valeur moyenne $\left[{\frac {d\Theta _{k}}{d\eta _{0}}}\right]$ il ne restera que les termes indé-