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FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.

Donc $\lambda$ et $\mu$ sont des séries développées suivant les puissances de

$\varepsilon ,\quad \xi _{0},\quad {\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}\,;$

mais ces trois constantes n’y entrent pas d’une façon quelconque.

Rappelons-nous par quel artifice nous avons introduit la constante auxiliaire $\varepsilon$ qui n’a servi qu’à simplifier l’exposition ; et pour cela, reprenons pour un instant les notations du n^o 274 et de la page 93 ; nous avons posé

${\begin{aligned}x_{1}&=\varepsilon x_{1}',&y_{1}&=\varepsilon y_{1}',&x_{2}&=\varepsilon ^{2}x_{2}',&y_{2}&=y_{2}'.\end{aligned}}$

Donc nos équations ne cessent pas d’être satisfaites quand on change

$\varepsilon ,\quad x_{1}',\quad y_{1}',\quad x_{2}'$

en

$\varepsilon k^{-1},\quad x_{1}'k,\quad y_{1}'k,\quad x_{2}'k^{2}$

et que les paramètres $\lambda$ et $\mu$ conservent leurs valeurs primitives.

Nous avons ensuite supprimé les accents devenus inutiles et nous avons développé $x_{1}',\,y_{1}',$ $x_{2}',\,y_{2}',$ que nous désignions désormais par les lettres $x_{1},\,y_{1},$ $x_{2},\,y_{2},$ suivant les puissances de $\varepsilon .$ Nous avons ainsi trouvé les développements

(19)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}\xi _{0}&{}+{}&\varepsilon \xi _{1}&{}+{}&\varepsilon ^{2}\xi _{2}&{}+{}&\ldots ,\\\eta _{0}&{}+{}&\varepsilon \eta _{1}&{}+{}&\varepsilon ^{2}\eta _{2}&{}+{}&\ldots ,\\\xi _{0}'&{}+{}&\varepsilon \xi _{1}'&{}+{}&\varepsilon ^{2}\xi _{2}'&{}+{}&\ldots ,\\\eta _{0}'&{}+{}&\varepsilon \eta _{1}'&{}+{}&\varepsilon ^{2}\eta _{2}'&{}+{}&\ldots .\end{alignedat}}\right.$

Nous ne cesserons pas de satisfaire aux équations si nous changeons $\varepsilon$ en ${\frac {\varepsilon }{k}},$ et que nous multipliions les quatre développements (19) respectivement par

$k^{2},\quad 1,\quad k,\quad k,$

ou, ce qui revient au même, si nous changeons

$\xi _{p},\quad \eta _{p},\quad \xi _{p}',\quad \eta _{p}'$

en

$\xi _{p}k^{2-p},\quad \eta _{p}k^{p},\quad \xi _{p}'k^{1-p},\quad \eta _{p}'k^{1-p}.$

On doit, par ce changement, retomber sur des développements identiques aux développements (19), mais avec des valeurs diffé-