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CHAPITRE XXX.

être remplacés par des fonctions arbitraires de $\varepsilon \,;$ ou, si l’on préfère, nous disposons d’une infinité de constantes $\lambda _{1},\,\lambda _{2},\,\ldots ,$ $\mu _{1},\,\mu _{2},\,\ldots .$ Nous pouvons alors disposer de ces constantes de telle façon que $n_{1}$ et $n_{2}$ restent égaux à 1 et à $in,$ quel que soit $\varepsilon .$

366.Nous avons donc pour déterminer $\varpi$ une équation de la forme

$ae^{(k+2)i\varpi }+ce^{-(k+2)i\varpi }=0,$

où $a$ et $c$ sont imaginaires conjugués. En général, $a$ et $c$ ne sont pas nuls, sans quoi $\varpi$ ne pourrait être déterminé qu’à l’approximation suivante.

L’équation nous donnera donc pour $\varpi$ une série de valeurs réelles

$\varpi _{0},\quad \varpi _{0}+{\frac {\pi }{k+2}},\quad \varpi _{0}+{\frac {2\pi }{k+2}},\quad \varpi _{0}+{\frac {3\pi }{k+2}},\quad \ldots .$

Il est clair que l’on n’a pas deux valeurs réellement distinctes quand on change $\varpi$ en $\varpi +2\pi \,;$ mais il y a plus ; je dis que les deux valeurs

$\varpi _{0},\quad \varpi _{0}+{\frac {2\pi }{k+2}},$

ne correspondent pas à deux solutions périodiques réellement distinctes.

En effet, comme $t$ n’entre pas explicitement dans nos équations, en changeant $t$ en $t+h,$ on transforme une solution périodique quelconque en une autre qui n’est pas essentiellement distincte.

Changeons donc $t$ en $t+2h\pi ,$ $h$ étant entier.

Alors $\eta _{0}$ se change en $\eta _{0}+2h\pi$ et $v_{0}=i(nt+\varpi )$ en

$i(nt+2nh\pi +\varpi ).$

Comme toutes nos fonctions sont périodiques, de période $2\pi ,$ en $\eta _{0}$ et $iv_{0},$ nous ne changerons rien à notre solution en retranchant respectivement de $\eta 0$ et ${\frac {v_{0}}{i}}$ deux multiples de $2\pi \,;$ par exemple $2h\pi$ et $2h'\pi .$ Alors $\eta _{0}$ sera redevenu $\eta _{0}$ et $v_{0}$ se sera changé en

$i(nt+2nh\pi +\varpi -2h'\pi ).$