seconde équation (4). Soit
(5) |
le résultat de la substitution. Notre déterminant fonctionnel étant nul, on aura
mais deux cas sont à distinguer :
1o La dérivée n’est pas nulle, ou, en d’autres termes, le déterminant fonctionnel de et par rapport à et n’est pas nul.
Dans ce cas, si l’on regarde et comme les coordonnées d’un point dans un plan, la courbe représentée par l’équation (5) aura à l’origine un point ordinaire, où la tangente sera la droite
En général, la dérivée seconde
ne sera pas nulle, c’est-à-dire que l’origine ne sera pas un point d’inflexion pour la courbe (5).
Si nous coupons par la droite étant une constante assez petite, nous pourrons, suivant le signe de avoir deux points d’intersection de cette droite et de la courbe (5) dans le voisinage de l’origine ou n’en avoir aucun.
Si, par exemple, la courbe est au-dessus de sa tangente, nous aurons, pour deux intersections et, par conséquent, deux solutions périodiques, pour nous n’en aurons aucune.
Nous voyons donc deux solutions périodiques se rapprocher l’une de l’autre, se confondre, puis disparaître.
Considérons les deux points d’intersection de la droite avec la courbe (5) ; ils correspondront à deux racines consécutives de l’équation (5) et, par conséquent, à deux valeurs de signes contraires de la dérivée donc à deux valeurs de signes contraires du déterminant fonctionnel des par rapport aux c’est-