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PROPRIÉTÉS DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.

période $\mathrm {T}$ par rapport à $t\,;$ envisageons les équations canoniques

(2)

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy}},&{\frac {dy}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx}}\,;\end{aligned}}$

ce sont les équations de la Dynamique avec un seul degré de liberté ; mais, $\mathrm {F}$ dépendant de $t,$ elles n’admettent pas l’équation des forces vives $\mathrm {F} =\mathrm {const.}$

Supposons que ces équations (2) admettent une solution périodique de période $\mathrm {T} .$ Les exposants caractéristiques nous seront donnés par l’équation suivante analogue à (1)

(3)

$\left|{\begin{array}{cc}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}-\mathrm {S} &{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}\\{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}-\mathrm {S} \end{array}}\right|=0$

qui a pour racines

$e^{\alpha \mathrm {T} }-1,\quad e^{-\alpha \mathrm {T} }-1.$

Ces racines deviennent nulles toutes deux au moment du passage.

Supposons que $\mathrm {F}$ dépende d’un certain paramètre $\mu$ et que, pour $\lambda =0,$ les deux racines de l’équation (3) soient nulles. Les fonctions $\psi _{1}$ et $\psi _{2}$ dépendront non seulement de $\beta _{1}$ et de $\beta _{2},$ mais de $\mu .$ Nous supposerons que $\mathrm {F}$ est développable suivant les puissances de $\mu$ et que par conséquent $\psi _{1}$ et $\psi _{2}$ sont développables suivant les puissances de $\beta _{1},\,\beta _{2}$ et $\mu .$

Les solutions périodiques nous seront données par les équations

(4)

$\psi _{1}=0,\quad \psi _{2}=0.$

Pour $\mu =0,$ $\beta _{1}=\beta _{2}=0,$ le déterminant fonctionnel des $\psi$ par rapport aux $\beta$ est nul ; mais en général les quatre dérivées ${\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{k}}}$ ne s’annuleront pas à la fois. Supposons par exemple

${\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}\gtrless 0,$

on tirera de la première équation (4) $\beta _{1}$ en série développée suivant les puissances de $\beta _{2}$ et de $\mu$ et l’on substituera dans la