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SOLUTIONS DOUBLEMENT ASYMPTOTIQUES.

applicables et nous permettent d’affirmer l’existence d’une solution périodique de la première sorte qui satisfera évidemment aux conditions suivantes : les quantités

sont des fonctions périodiques du temps ces fonctions dépendent en outre de et de la constante des forces vives elles sont développables suivant les puissances de la période dépend aussi de et de L’angle augmente de quand augmente d’une période. Enfin et sont divisibles par de sorte que pour on a

Avec notre mode de représentation, cette solution périodique que j’appelle est représentée par une courbe fermée comme est très petit quand est très petit, cette courbe s’écarte très peu de l’axe des je veux dire qu’elle s’en écarte peu de même qu’un cercle de rayon très grand s’écarte peu d’une droite. Tout point de la courbe est, ou très éloigné de l’origine ou très voisin de l’axe des

Cela posé, notre aire courbe aurait pour périmètre la courbe elle s’écarterait peu du demi-plan sauf dans le voisinage immédiat de la courbe Il serait facile d’ailleurs d’achever de la déterminer de telle manière que tout point de cette aire eût un conséquent sur cette aire elle-même. Il suffirait pour cela que si j’appelle une trajectoire quelconque, c’est-à-dire une des courbes définies dans notre mode de représentation par les équations différentielles, il suffirait, dis-je, que la surface ne fût tangente en aucun point à aucune des trajectoires

Mais il y a un autre moyen, qui au fond ne diffère pas du premier. La difficulté, pour peu qu’on y réfléchisse, rappellera celle du Chapitre XII ; nous sommes donc conduits à faire un changement de variables analogue à celui du no 145.

Posons d’abord

puis