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CHAPITRE XXXIII.

où $\mathrm {S} _{1}$ est une fonction de $\xi _{2}',\,\eta _{2},\,x_{1}',\,y_{1}.$ Soit ensuite

(1)

$\left\{{\begin{aligned}\xi _{2}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\eta _{2}}}=\xi _{2}'+\mu \,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{d\eta _{2}}}\,;&\eta _{2}'&={\frac {d\mathrm {S} }{d\xi _{2}'}}=\eta _{2}+\mu \,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{d\xi _{2}'}}\,;\\x_{1}&={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}=x_{1}'+\mu \,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\,;&y_{1}'&={\frac {d\mathrm {S} }{dx_{1}'}}=y_{1}+\mu \,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dx1'}},\end{aligned}}\right.$

et enfin

${\begin{aligned}\xi _{2}'&={\sqrt {2x_{2}'}}\cos y_{2}',&\eta _{2}'&={\sqrt {2x_{2}'}}\sin y_{2}'.\end{aligned}}$

J’observe d’abord que la forme canonique des équations ne sera pas altérée quand des variables $x_{1},\,y_{1},\,x_{2},\,y_{2},$ je passerai à $x_{1},\,y_{1}\,\xi _{2},\,\eta _{2},$ puis à $x_{1}',\,y_{1}',\,\xi _{2}',\,\eta _{2}',$ puis enfin à $x_{1}',\,y_{1}',\,x_{2}',y_{2}'.$

Il me reste à choisir la fonction $\mathrm {S} _{1}.$

Je sais que $\mathrm {F} '$ est dans le domaine envisagé une fonction holomorphe de ${\sqrt {2x_{1}}}\cos y_{1},$ ${\sqrt {2x_{1}}}\sin y_{1},$ ${\sqrt {2x_{1}}}\cos y_{2},$ ${\sqrt {2x_{1}}}\sin y_{2}.$ Je veux qu’elle reste fonction holomorphe des nouvelles variables

${\sqrt {2x_{i}'}}\cos y_{i}',\quad {\sqrt {2x_{i}'}}\sin y_{i}'.$

Pour cela je veux que les variables anciennes ${\sqrt {2x_{i}}}{\begin{array}{c}\cos \\\sin \end{array}}y_{i}$ soient fonctions holomorphes des variables nouvelles ${\sqrt {2x_{i}'}}{\begin{array}{c}\cos \\\sin \end{array}}y_{i}'$ et de $\mu .$

À cet effet, il nous suffira de supposer que $\mathrm {S} _{1}$ est fonction holomorphe de

${\sqrt {2x_{1}'}}\cos y_{1},\quad {\sqrt {2x_{1}'}}\sin y_{1},\quad \xi _{2}',\quad \eta _{2},\quad \mu$

et est divisible par $x_{1}'.$

Je veux ensuite que pour notre solution périodique $\sigma ,$ on ait

${\begin{aligned}\xi _{2}'&=\eta _{2}'=0,&x_{1}'&=x_{1}^{0}=\mathrm {const.} \end{aligned}}$

Soient donc

${\begin{aligned}\xi _{2}&=\mathrm {A} ,&\eta _{2}&=\mathrm {B} ,&i_{1}&=\mathrm {C} \end{aligned}}$

les équations de la solution périodique ; $\mathrm {A,\,B,\,C}$ sont des fonctions de $y_{1},$ périodiques de période $2\pi$ et développables suivant les puissances de $\mu .$

Alors $\mathrm {C} -{\frac {d\mathrm {A} }{dy_{1}}}\mathrm {B}$ sera aussi une fonction périodique de $y_{1}\,;$ soit $x_{1}^{0}$ sa valeur moyenne ; on pourra trouver une autre fonction périodique $\alpha$ telle que

$\mathrm {C} -{\frac {d\mathrm {A} }{dy_{1}}}\,\mathrm {B} =x_{1}^{0}+{\frac {d\alpha }{dy_{1}}}\cdot$