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CHAPITRE XXXIII.

du premier degré en

${\begin{aligned}\xi _{2}&={\sqrt {2x_{2}}}\cos y_{2},&\eta _{2}&={\sqrt {2x_{2}}}\sin y_{2}\end{aligned}}$

et que, par conséquent, la dérivée ${\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{2}}},$ contenant des termes en-${\frac {1}{\sqrt {x_{2}}}},$ devenait infinie pour $x_{2}=0.$

Ici cette difficulté n’existe plus ; nous n’avons plus de termes du premier degré en $\xi _{2}',\,\eta _{2}'\,;$ donc la dérivée ${\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{2}'}}$ reste finie, même pour $x_{2}'=0,$ et ${\frac {d\mathrm {F} '}{dx_{2}'}},$ qui diffère très peu de ${\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}'}},$ conserve toujours le même signe. Donc, avec nos nouvelles variables qui, d’ailleurs, ne diffèrent des anciennes que de quantités très petites de l’ordre de $\mu ,$ nous aurons constamment

${\frac {dx_{2}'}{dt}}>0.$

Faisons, avec nos variables nouvelles, une convention analogue à celle du numéro précédent et représentons la situation du système par le point de l’espace dont les coordonnées sont

${\begin{aligned}\mathrm {X} &={\frac {{\sqrt {{\overset {}{x}}_{2}'}}\cos y_{2}'}{{\sqrt {{\overset {}{x}}_{2}'\!+\!4x_{1}'}}-2{\sqrt {{\overset {}{x}}_{1}'}}\cos y_{1}'}},&\mathrm {Y} &={\frac {{\sqrt {{\overset {}{x}}_{2}'}}\sin y_{2}'}{{\sqrt {{\overset {}{x}}_{2}'\!+\!4x_{1}'}}-2{\sqrt {{\overset {}{x}}_{1}'}}\cos y_{1}'}},\end{aligned}}$

$\mathrm {Z} ={\frac {2{\sqrt {{\overset {}{x}}_{1}'}}\sin y_{1}'}{{\sqrt {{\overset {}{x}}_{2}'\!+\!4x_{1}'}}-2{\sqrt {{\overset {}{x}}_{1}'}}\cos y_{1}'}}\cdot$

Tout ce que nous avons dit subsistera ; seulement comme ${\frac {dx_{2}'}{dt}}$ ne peut jamais s’annuler, tout point du demi-plan, sans exception, aura un conséquent.

Je dis maintenant que l’invariant intégral est toujours positif. Il ne pourrait y avoir de doute que pour le dénominateur qui, avec les mêmes variables, était $x_{1}n_{1}+x_{2}n_{2}$ et qui serait maintenant

$-\left(x_{1}'{\frac {d\mathrm {F} '}{dx_{1}}}+x_{2}'{\frac {d\mathrm {F} '}{dx_{2}}}\right),$

ce qui, en regardant $\mathrm {F} '$ comme fonction des quatre variables,

${\begin{aligned}\xi _{i}'&={\sqrt {2x_{i}'}}\cos y_{i}',&\eta _{i}'&={\sqrt {2x_{i}'}}\sin y_{i}',\end{aligned}}$